İKİNCİ DERECEDEN FONKSİYONLAR

Tanım : a, b, c,  R ve a  0 olmak üzere;

y = ax2 + bx + c

biçiminde tanımlanan fonksiyonlara, ikinci dereceden fonksiyonlar denir. x değişkeni R (gerçek sayılar kümesi) den seçilirse, R den R ye bir ikinci derece fonksiyonu elde edilir.

Böyle bir fonksiyon;

biçimlerinden biri ile gösterilir.

ÖRNEKLER:

1. R den R ye f(x) = 3x2 - 2x + 4 eşitliği ile tanımlanan fonksiyon ikinci dereceden bir fonksiyon olup,
a = 3 , b = - 2 ve c = 4 tür.

2. f: RR , f: x9x2 – 2 fonksiyonu ikinci dereceden bir fonksiyon olup,
a = 9 , b = 0 ve c = -2 dir.

İKİNCİ DERECEDEN BİR FONKSİYONUN GRAFİĞİ

y = ax2 + bx + c ikinci dereceden fonksiyonunun grafiğine (eğrisine), PARABOL denir. Denklemi verilen bir parabolü analitik düzlemde gösterebilmek (çizebilmek) için yapılması gereken işlemleri aşağıdaki gibi sıralayabiliriz.

1. Tepe noktasının koordinatları bulunur.
2. Grafiğin varsa, koordinat eksenlerini kestiği noktalar bulunur.
3. Değişim tablosu düzenlenir.
4. Değişim tablosundan yararlanarak, belirlenen noktalar analitik düzlemde işaretlenir ve grafik çizilir.

TEPE NOKTASININ KOORDİNATLARINI BULMA

İkinci dereceden bir fonksiyonun grafiğinin (parabolün) tepe noktasını tanımlamadan önce aşağıdaki örneği inceleyelim.

ÖRNEK : y = x2 fonksiyonunun grafiğini çizelim.

y = x2 fonksiyonuna ait olan grafik;
x = -2 için, y = (-2)2 = 4 olduğundan, grafik (-2, 4) noktasından,
x = -1 için, y = (-1)2 = 1 olduğundan, grafik (-1, 1) noktasından,
x = 0 için, y = (0)2 = 0 olduğundan, grafik (0, 0) noktasından,
x = 1 için, y = 12 = 1 olduğundan, grafik (1, 1) noktasından,
x = 2 için, y = 22 = 4 olduğundan, grafik (2, 4) noktasından
geçer.

Bulunan bu noktalardan yararlanarak, fonksiyonun değişim tablosunu düzenleyelim.




x gerçek sayıları (-) dan sıfıra kadar artan değerler aldığında, y = x2 fonksiyonu (+) dan sıfıra kadar azalır.

x sıfırdan (+) a doğru artmaya devam ettiğinde, y = x2 fonksiyonu da sıfırdan (+) a artarak gider.

Grafiğin döndüğü nokta, (0, 0) noktasıdır. Bu nokta, y = x2 parabolünün tepe noktası dır.


y = x2 fonksiyonunun grafiği aşağıdaki gibidir.







y = x2 nin değişim tablosunu incelerseniz, x  1 için y = 1 ve x =  2 için y = 4 olduğunu görürsünüz. (-1, 1) ile (1, 1) ve (-2, 4) ile (2, 4) noktaları 0y eksenine göre simetrik noktalardır.

O halde, 0y ekseni (x = 0 doğrusu), y = x2 fonksiyonunun grafiğinin, simetri eksenidir.

fonksiyonlarının grafikleri aşağıda çizilmiştir, inceleyiniz.








y = ax2 parabolünde;
• a > 0 ise, parabolün kolları yukarı doğru,
• a < 0 ise, parabolün kolları aşağı doğru,
• a mutlak değerce büyüdükçe, parabolün kolları y eksenine yaklaşır.
• a mutlak değerce küçüldükçe, parabolün kolları y ekseninden uzaklaşır.
• x = 0 doğrusu (0y ekseni), parabolün simetri eksenidir.

Şimdi de, y = ax2 + bx + c fonksiyonuna ait grafiğin, tepe noktasının bileşenlerini bulalım.

y = ax2 + bx + c fonksiyonu,
(Bu eşitliği daha önceki bölümlerde göstermiştik)
biçiminde yazılabilir. Bu eşitlikte, dır.

a > 0 ise, ifadesi en küçük sıfır değerini alabilir. Buna göre; değerine, fonksiyonun görüntü kümesinin en küçük değeri ya da minimumu denir.

a < 0 ise, ifadesi en büyük, sıfır değerini alabilir. Buna göre; değerine, fonksiyonun görüntü kümesinin en büyük değeri ya da maksimumu denir.

(I) eşitliğinde, alınırsa, bu ifade y = a(x – r)2 + k biçimine dönüşür.

O halde; y = ax2 + bx +c fonksiyonunun grafiğinin apsisi ; r = , ordinatı, olan noktasına, parabolün tepe noktası denir.

y = ax2 + bx + c fonksiyonunun grafiğinin tepe noktası;




ÖRNEKLER

1. y = 2x2 – x + 1 fonksiyonunun grafiğinin, tepe noktasının bileşenlerini bulalım.

Verilen fonksiyonda; a = 2, b = -1 ve c = 1 dir.

O halde, tepe noktası, dir.

2. y = 6x2 fonksiyonunun grafiğinin, tepe noktasının bileşenlerini bulalım.

Verilen fonksiyonda a = 6 , b = 0 ve c = 1 dir.

O halde tepe noktası, T(0, 0) dır.

3. y = 2x2 + 4 fonksiyonunun grafiğinin, tepe noktasının bileşenlerini bulalım.

Verilen fonksiyonda, a = 2, b = 0 ve c = 4 tür.

O halde tepe noktası, T(0,4) tür.

Fonksiyonlar, aşağıdaki biçimde verildiğinde, tepe noktasını bulmak için, işlem yapmaya gerek yoktur.

1. y = ax2 parabolünün tepe noktası, T(0, 0) dır.
2. y = ax2 + c parabolünün tepe noktası, T(0. c) dir.
3. y = a(x – r)2 parabolünün tepe noktası, T(r. 0) dır.
4. y = a(x – r)2 + k parabolünün tepe noktası, T(r. K) dır.



İKİNCİ DERECEDEN BİR FONKSİYONUN GÖSTERDİĞİ EĞRİNİN EKSENLERİ KESTİĞİ NOKTALARI BULMA

y = ax2 + bx + c fonksiyonunun gösterdiği eğrinin (parabolün), eksenleri kestiği noktaları bulalım.

Parabolün y eksenini kestiği noktanın apsisi sıfır olacağından, x = 0 alınırsa,
y = a.02 + b.0 + c = c olur.

O halde, parabolün y eksenini kestiği nokta (0. c) noktasıdır.

Parabolün x eksenini kestiği noktaların ordinatları sıfır olacağından, y = 0 alınırsa,
0 = ax2 + bx + c denklemi elde edilir.

Bu denklemin kökleri x1 ve x2 ise parabolün x eksenini kestiği noktalar;(x1,0) ve(x2,0) olur.

ÖRNEKLER

1. y = x2 – 4 parabolün eksenleri kestiği noktaları bulalım.

x = 0 için, y = 02 – 4 = -4
O halde, parabolün y eksenini kestiği nokta (0, -4) tür.
y = 0 için, 0 = x2 – 4  x2 = 4  x1 = -2 v x2 = 2
O halde, parabolün x eksenini kestiği noktalar; (-2, 0) ve (2, 0) dır.

2. y = 2x2 + 8 parabolünün varsa, eksenleri kestiği noktaları bulalım.

x = 0 için, y = 2.02 + 8 = 8 olduğundan, y eksenini kestiği nokta (0. 8) dir.
y = 0 için, 0 = 2x2 + 8  2x2 = -8  x2 = - 4 gerçek kök yoktur.
O halde, parabolün x eksenini kestiği noktası yoktur.

3. y = x2 – 3x + 2 parabolünün eksenlerini kestiği noktaları bulalım.

x=0 için, y=02–3.0 + 2 = 2 olduğundan, parabolün y eksenini kestiği nokta (0, 2) dir.
y = 0 için, x2 – 3x + 2 = 0
(x – 2) (x – 1) = 0  x1 = 2 v x2 = 1 olduğundan, parabolün x eksenini kestiği noktalar, (2, 0) ile (1, 0) dır.

4. y = (x – 1)2 – 4 fonksiyonunun eksenleri kestiği noktaları bulalım.

x = 0 için, y = (0 – 1)2 – 4 = 1 – 4 = -3 olduğundan, parabolün,
y eksenini kestiği nokta (0. –3) tür.
y = 0 için, (x – 1)2 – 4 = 0  (x – 1)2 = 4
x1 = 2 + 3 = 3
 x – 1 = 2
x2 = -2 + 1 = -1

O halde, grafiğin x eksenini kestiği noktalar; (-1, 0) ile (3, 0) dır.

y = ax2 + bx + c FONKSİYONUNUN GRAFİĞİ

y = ax2 + bx + c fonksiyonunun, biçimine dönüştürülebildiğini ve tepe noktasının, olduğunu göstermiştik.

Ayrıca, bu fonksiyonun x eksenini; (x1 , 0) ve (x2 , 0) noktalarında y eksenini de (0, c) noktasında kestiğini bulmuştuk.

Elde ettiğimiz bu bilgilere göre, fonksiyonun değişim tablosunu düzenleyelim.






Tablodan da görüldüğü gibi, x değişkeni (-) dan ya kadar artan değerler aldığında, ifadesi (+) dan sıfıra doğru azalacağından, y fonksiyonu da (+) dan ya kadar azalır.

x değişkeni dan (+) a doğru artan değerler aldığında, y fonksiyonu da dan (+) a doğru artar.

Bu nedenle, y = ax2 + bx + c nin grafiği aşağıdaki gibi çizilir.









Tablodan görüldüğü gibi, x değişkeni (-) dan ya kadar artan değerler aldığında, ifadesi (+) dan sıfıra doğru azalacağından y fonksiyonu da (-) dan ya kadar artar. x değişkeni dan (+) a kadar artan değerler aldığında, y fonksiyonu da dan (-) doğru azalır.