eLanuR
9 December 2008, 14:47
Prim Algoritması
Prim Algoritması ağırlıklandırılmış ve bağlı bir çizge üzerinde minimum örten ağaçminimum spanning tree) bulan algoritmalardan birisidir. Ayrıtların bir alt kümesini, tüm düğümleri kapsayacak ve ayrıtların toplam ağırlığını (minimum yapacak şekilde bulur. Bağlı olmayan bie çizgeye uygulandığında sonucu bağlı bileşenlerden yalnız birisi için bulur. Bu algoritma 1930 yılında matematikçi Vojtech Jarnik tarafından bulunmuştur. Daha sonra bağımsız olarak 1957'de bilgisayar bilimcisi Robert C. Prim ve 1959'da Dijkstra tarafından tekrar bulunmuştur. Bu nedenle bu algoritmaya DJP veya Jarnik algoritması da denir.
Sözdekod'u aşağıdaki gibi verilebilir:
function Prim(çizge N)
T : kapsayan ağaç
B : eklenmiş düğümler
B <- rastgele bir düğüm
while B<>N do
e = (u,v) şeklinde en hafif ayrıtı bul oyle ki u B'nin elemanı olsun ve v N\B 'nin elemanı olsun
T <- T U {e}
B <- B U {v}
endwhile
return T
Örnek
[Only Registered Users Can See Links]
Bu çizgenin orijinal hali. Ayrıtların üzerindeki sayılar ağırlıkları. Ayrıtlardan hiç biri henüz seçili değil ve D düğümü başlangıç düğümü olarak rastgele seçildi.
[Only Registered Users Can See Links]
İkinci olarak seçilecek düğüm D'ye en yakın olanı. A 5 , B 9, E 15, ve F 6 uzaklıkta. Bunlardan en küçüğü 5 dolayısıyla A düğümünü ve DA ayrıtını işaretliyoruz.
[Only Registered Users Can See Links]
Seçilecek bir sonraki düğüm D veya A'ya en yakın olanı. B 9 uzakta (D den), E 15, ve FF düğümünü ve DF ayrıtını işaretliyoruz.
6. En yakın 6 o yüzden
[Only Registered Users Can See Links]
Algoritma aynı şekilde devam ediyor. B düğümü A'dan 7 uzakta ve işaretli. Burada DB ayrıtı kırmızı olarak işaretlendi çünkü daha önce hem B hem de D düğümleri işaretlenmişti. Bu yüzden bu ayrıt kullanılamaz.
[Only Registered Users Can See Links]
Bu durumda C, E ve G'den birini seçebiliriz. C, B'den 8 uzakta, E, B'den 7 uzakta ve G, F'den 11 uzakta. En yakın E olduğu için onu ve EB ayrıtını işaretliyoruz. Diğer iki ayrıt kırmızı çünkü onları bağlayan düğümler kullanıldı.
[Only Registered Users Can See Links]
Burada sadece C ve G düğümlerini inceleyebiliriz. C, E'den 5 uzakta ve G ise 9 uzakta. C'yi ve EC ayrıtını seçiyoruz. Ayrıca BC'yi de kırmızı olarak işaretliyoruz.
[Only Registered Users Can See Links]
G düğümü kalan son düğüm. F'den 11 uzakta ve E'den 9 uzakta. Bu nedenle E'yi ve EG'yi işaretliyoruz. Tüm düğümleri eklediğimize göre en hafif kapsayan ağaç yeşil olarak gözüküyor. Toplam ağırlığı ise burada 39 oldu.
Prim Algoritması ağırlıklandırılmış ve bağlı bir çizge üzerinde minimum örten ağaçminimum spanning tree) bulan algoritmalardan birisidir. Ayrıtların bir alt kümesini, tüm düğümleri kapsayacak ve ayrıtların toplam ağırlığını (minimum yapacak şekilde bulur. Bağlı olmayan bie çizgeye uygulandığında sonucu bağlı bileşenlerden yalnız birisi için bulur. Bu algoritma 1930 yılında matematikçi Vojtech Jarnik tarafından bulunmuştur. Daha sonra bağımsız olarak 1957'de bilgisayar bilimcisi Robert C. Prim ve 1959'da Dijkstra tarafından tekrar bulunmuştur. Bu nedenle bu algoritmaya DJP veya Jarnik algoritması da denir.
Sözdekod'u aşağıdaki gibi verilebilir:
function Prim(çizge N)
T : kapsayan ağaç
B : eklenmiş düğümler
B <- rastgele bir düğüm
while B<>N do
e = (u,v) şeklinde en hafif ayrıtı bul oyle ki u B'nin elemanı olsun ve v N\B 'nin elemanı olsun
T <- T U {e}
B <- B U {v}
endwhile
return T
Örnek
[Only Registered Users Can See Links]
Bu çizgenin orijinal hali. Ayrıtların üzerindeki sayılar ağırlıkları. Ayrıtlardan hiç biri henüz seçili değil ve D düğümü başlangıç düğümü olarak rastgele seçildi.
[Only Registered Users Can See Links]
İkinci olarak seçilecek düğüm D'ye en yakın olanı. A 5 , B 9, E 15, ve F 6 uzaklıkta. Bunlardan en küçüğü 5 dolayısıyla A düğümünü ve DA ayrıtını işaretliyoruz.
[Only Registered Users Can See Links]
Seçilecek bir sonraki düğüm D veya A'ya en yakın olanı. B 9 uzakta (D den), E 15, ve FF düğümünü ve DF ayrıtını işaretliyoruz.
6. En yakın 6 o yüzden
[Only Registered Users Can See Links]
Algoritma aynı şekilde devam ediyor. B düğümü A'dan 7 uzakta ve işaretli. Burada DB ayrıtı kırmızı olarak işaretlendi çünkü daha önce hem B hem de D düğümleri işaretlenmişti. Bu yüzden bu ayrıt kullanılamaz.
[Only Registered Users Can See Links]
Bu durumda C, E ve G'den birini seçebiliriz. C, B'den 8 uzakta, E, B'den 7 uzakta ve G, F'den 11 uzakta. En yakın E olduğu için onu ve EB ayrıtını işaretliyoruz. Diğer iki ayrıt kırmızı çünkü onları bağlayan düğümler kullanıldı.
[Only Registered Users Can See Links]
Burada sadece C ve G düğümlerini inceleyebiliriz. C, E'den 5 uzakta ve G ise 9 uzakta. C'yi ve EC ayrıtını seçiyoruz. Ayrıca BC'yi de kırmızı olarak işaretliyoruz.
[Only Registered Users Can See Links]
G düğümü kalan son düğüm. F'den 11 uzakta ve E'den 9 uzakta. Bu nedenle E'yi ve EG'yi işaretliyoruz. Tüm düğümleri eklediğimize göre en hafif kapsayan ağaç yeşil olarak gözüküyor. Toplam ağırlığı ise burada 39 oldu.