eLanuR
9 December 2008, 15:04
Gödel'in Eksiklik Teoremi
Gödel'in çağdaşı olan ünlü matematikçi Hilbert ([Only Registered Users Can See Links]************/forum/ext.php?ref=[Only Registered Users Can See Links]), matematikteki tüm ispatların, belli bir yöntemle, yani aksiyomatik ([Only Registered Users Can See Links]) bir sistem vasıtasıyla, elde edilebileceğini düşünüyordu ve bu doğrultuda çalışmalarına başladı. Temel aritmetikteki tüm doğruları, aksiyomlarından türetebilirse, matematikteki tüm doğruları da bu aksiyomlardan elde edebilecekti.
Gödel ([Only Registered Users Can See Links]************/forum/ext.php?ref=[Only Registered Users Can See Links]) bunun olanaksızlığını gösterdi. Bunu kısaca şu şekilde yaptı: Bu önerme ispatlanamaz ifadesini [Only Registered Users Can See Links]************/forum/images/smilies/msn_gift.gif aritmetik sisteminde formülize etti. Aynı şekilde G ifadenin değilini (Bu önerme ispatlanabilir) de formülize etti. Daha sonra, G ifadesinin aritmetik olarak doğruluğu hesaplanabilirse, G ifadesinin değilinin de doğruluğunun hesaplanabileceğini gösterdi. Ve Gödel buradan şu iki sonuca varmıştır:
Elementer aritmetik içeren aksiyomatik bir sistem tutarlı (consistent) ise eksiksiz ([Only Registered Users Can See Links]) (complete) değildir.
Elementer aritmetik içeren aksiyomatik bir sistemin tutarlılığını sistemin kendi içinden (sistemin kendi formüllerini ve işlemlerini kullanarak) ispatlamak mümkün değildir. İşin ilginç tarafı, bu G ifadesi sistemin içine bir aksiyom olarak yerleştirilse bile, yeni bir Gödel cümlesi çıkartılabilir. Yani ne kadar aksiyom eklersek ekleyelim, böyle bir sistemde doğruluğu ya da yanlışlığı ispatlanamayacak bir Gödel cümlesi bulunacaktır.
Gödel'in çağdaşı olan ünlü matematikçi Hilbert ([Only Registered Users Can See Links]************/forum/ext.php?ref=[Only Registered Users Can See Links]), matematikteki tüm ispatların, belli bir yöntemle, yani aksiyomatik ([Only Registered Users Can See Links]) bir sistem vasıtasıyla, elde edilebileceğini düşünüyordu ve bu doğrultuda çalışmalarına başladı. Temel aritmetikteki tüm doğruları, aksiyomlarından türetebilirse, matematikteki tüm doğruları da bu aksiyomlardan elde edebilecekti.
Gödel ([Only Registered Users Can See Links]************/forum/ext.php?ref=[Only Registered Users Can See Links]) bunun olanaksızlığını gösterdi. Bunu kısaca şu şekilde yaptı: Bu önerme ispatlanamaz ifadesini [Only Registered Users Can See Links]************/forum/images/smilies/msn_gift.gif aritmetik sisteminde formülize etti. Aynı şekilde G ifadenin değilini (Bu önerme ispatlanabilir) de formülize etti. Daha sonra, G ifadesinin aritmetik olarak doğruluğu hesaplanabilirse, G ifadesinin değilinin de doğruluğunun hesaplanabileceğini gösterdi. Ve Gödel buradan şu iki sonuca varmıştır:
Elementer aritmetik içeren aksiyomatik bir sistem tutarlı (consistent) ise eksiksiz ([Only Registered Users Can See Links]) (complete) değildir.
Elementer aritmetik içeren aksiyomatik bir sistemin tutarlılığını sistemin kendi içinden (sistemin kendi formüllerini ve işlemlerini kullanarak) ispatlamak mümkün değildir. İşin ilginç tarafı, bu G ifadesi sistemin içine bir aksiyom olarak yerleştirilse bile, yeni bir Gödel cümlesi çıkartılabilir. Yani ne kadar aksiyom eklersek ekleyelim, böyle bir sistemde doğruluğu ya da yanlışlığı ispatlanamayacak bir Gödel cümlesi bulunacaktır.