HaZzAn
31 December 2008, 10:49
Fizikte kurtulma hızıhttp://www.1forum.net/images/smilies/smilev.gif gravitasyon alanındaki (yerçekimi etkisindeki) herhangi bir cismin kinetik enerjisinin söz konusu alana bağıl potansiyel enerjisine eşit olduğu andaki hızıdır. Genellikle üç boyutlu bir uzayda bulunan cimsin kendisini etkileyen gravitasyon alanından kurtulabilmesi için ulaşması gereken sürati ifade eder.
Ayrıntılı tanım
Belirli bir gravitasyonel alan etkisi altında ve pozisyondahttp://www.1forum.net/images/smilies/smilev.gif bir cismin gravitasyon kaynağından herhangi bir ek ivme gerektirmeden kaçabilmesi için sahip olması gereken minimum hız o cismin kurtulma hızıdır. Kurtulma hızına sahip cisim kaçmayısısa çalıştığı kütleye geri düşmez veya o cisim etrafında herhangi bir yörüngede (orbit) hareket etmez. Kurtulma hızı teoride yönden bağımsızdır; yani bu hıza sahip cisim üç boyutlu bir uzayda hangi yönde hareket ediyor olsun çekim kaynağından kaçmayısısı başaracaktır. Ancak yönhttp://www.1forum.net/images/smilies/smilev.gif pratik uzay uygulamalarında önemlidir çünkü Uzay Mühendisliği bilimince de sıkça incelendiği gibihttp://www.1forum.net/images/smilies/smilev.gif cimsin fırlatılış hızı ile beraber sahip olacağı son yörüngeyi belirler. Dolayısıylahttp://www.1forum.net/images/smilies/smilev.gif kutupsal (polar) yörüngeye yerleştirilecek bir uyduyu taşıyan füzeye atmosferdeki yükselişi esnasında verilecek yön ile eliptik bir yörüngeye yerleştirilecek başka bir uyduyu taşıyan füzeye verilecek yönhttp://www.1forum.net/images/smilies/smilev.gif hemen hemen ayni yükseliş hızına sahip de olsalar farkıdır. Kurtulma hızına ulaştırılıphttp://www.1forum.net/images/smilies/smilev.gif dünyanın yerçekim alanını terk ettirilecek (örn. uzay sondaları) gibi cisimler fırlatılışın genellikle tüm aşamalarını atmosfere dik olarak geçtikten sonra uzay ortamında ateşlenen nispeten küçük roket motorlarıyla gidecekleri hedef gezegene doğru yönlendirilirler.
Aynı fiziksel teoremi tersten düşünecek olursakhttp://www.1forum.net/images/smilies/smilev.gif tek merkezli bir gravitasyonel (yerçekim) alanının etkisi altında ve sonsuz uzaklıktaki bir cisimhttp://www.1forum.net/images/smilies/smilev.gif söz konusu gravitasyonal alanı yaratan kütleye yaklaşırken en fazla o cisimden kaçarken erişmesi gereken minimum hız olan kurtulma hızında seyir edecektir. Kurtulma hızı genellikle kütlelerin yüzeyinde ölçülür. Yanihttp://www.1forum.net/images/smilies/smilev.gif "Dünya'nın kurtulma hızı 11.2 km/s'dir" dedigimizde aslında dünyanın yüzeyindehttp://www.1forum.net/images/smilies/smilev.gif deniz seviyesindeki bir konuma relatif kurtulma hızından bahsederiz. Buna nazaranhttp://www.1forum.net/images/smilies/smilev.gif örneğin 9http://www.1forum.net/images/smilies/smilev.gif000 km yüksekte (uzayda) cismin dünyanın yerçekiminden kaçması için sahip olması gereken kurtulma hızı 7.1 km/s'dir. Bir başka deyişlehttp://www.1forum.net/images/smilies/smilev.gif cisim yerçekim kaynağından uzaklaştıkçahttp://www.1forum.net/images/smilies/smilev.gif o kaynaktan kaçabilmesi için erişmesi gereken kurtulma hızı azalır.
Terimin yanlış kullanımları
Kurtulma Hızıhttp://www.1forum.net/images/smilies/smilev.gif herhangi bir cismin büyük kütlenin etrafındaki herhangi bir yörüngeden çıkması için sahip olması gereken hızla karıştırılmamalıdır. Belirli bir motor ve hareket kabiliyetine sahip cisim (örneğin bir helikopter)http://www.1forum.net/images/smilies/smilev.gif büyük kütlenin kütle merkezinden istedigi herhangi bir hızda uzaklaşabilir. Uzaklık arttıkçahttp://www.1forum.net/images/smilies/smilev.gif cismin büyük kütlenin yerçekiminden ilelebet kurtulabilmesi için çıkması gereken hız azalacaktır.
Bazı bilinen gök cisimlerinin kurtulma hızları
Fırlatılış yeri Kaçılan gökcismi Ve Fırlatılış yeri Kaçılan gökcismi Ve
Güneş'in yüzeyihttp://www.1forum.net/images/smilies/smilev.gif Güneş: 617.5 km/s
Merkür'ün yüzeyihttp://www.1forum.net/images/smilies/smilev.gif Merkür: 4.4 km/s Merkür'ün yüzeyihttp://www.1forum.net/images/smilies/smilev.gif Güneş: 67.7 km/s
Venüs'ün yüzeyihttp://www.1forum.net/images/smilies/smilev.gif Venüs: 10.4 km/s Venüs'ün yüzeyihttp://www.1forum.net/images/smilies/smilev.gif Güneş: 49.5 km/s
Dünya'nın yüzeyihttp://www.1forum.net/images/smilies/smilev.gif Dünya: 11.2 km/s Dünya'nın yüzeyihttp://www.1forum.net/images/smilies/smilev.gif Güneş: 42.1 km/s
Ay'ın yüzeyihttp://www.1forum.net/images/smilies/smilev.gif Ay: 2.4 km/s Ay'ın yüzeyihttp://www.1forum.net/images/smilies/smilev.gif Dünya: 1.4 km/s
Mars'ın yüzeyihttp://www.1forum.net/images/smilies/smilev.gif Mars: 5.0 km/s Mars'ın yüzeyi: Güneş: 34.1 km/s
Jüpiter'in yüzeyihttp://www.1forum.net/images/smilies/smilev.gif Jüpiter: 59.5 km/s Jüpiter'in yüzeyihttp://www.1forum.net/images/smilies/smilev.gif Güneş: 18.5 km/s
Satürn'ün yüzeyihttp://www.1forum.net/images/smilies/smilev.gif Satürn: 35.5 km/s Satürn'ün yüzeyihttp://www.1forum.net/images/smilies/smilev.gif Güneş: 13.6 km/s
Uranüs'ün yüzeyihttp://www.1forum.net/images/smilies/smilev.gif Uranüs: 21.3 km/s Uranüs'ün yüzeyihttp://www.1forum.net/images/smilies/smilev.gif Güneş: 9.6 km/s
Neptün'ün yüzeyihttp://www.1forum.net/images/smilies/smilev.gif Neptün: 23.5 km/s Neptün'ün yüzeyihttp://www.1forum.net/images/smilies/smilev.gif Güneş: 7.7 km/s
Güneş sistemihttp://www.1forum.net/images/smilies/smilev.gif Samanyolu galaksisi: ~1000 km/s[1]
Herhangi bir Karadeliğin yüzeyihttp://www.1forum.net/images/smilies/smilev.gif Karadelik ≥ 299http://www.1forum.net/images/smilies/smilev.gif792.458 km/s
Atmosfer yüzünden Dünya yüzeyine yakın irtifalarda cisme 11.2 km/s'lik hipersonik bir hız kazandırmakhttp://www.1forum.net/images/smilies/smilev.gif cismin hava molekülleri ile kolezyonu sonucu yanarak parçalanmasına sebep olacağından pratikte mümkün değildir. Gerçek uzay uygulamalarındahttp://www.1forum.net/images/smilies/smilev.gif atmosferin yavaşlatıcı etkisini egale etmek için cisim öncelikle alçak Dünya yörüngesine yerleştirilirhttp://www.1forum.net/images/smilies/smilev.gif sonra ikinci bir motor ateşlemesiyle kurtulma hızına ulaştırılır.
Kurtulma hızının hesaplanması
http://upload.wikimedia.org/math/a/d/1/ad127fc362d750a1a21575231cc967e4.png (http://upload.wikimedia.org/math/a/d/1/ad127fc362d750a1a21575231cc967e4.png)
http://upload.wikimedia.org/math/4/c/8/4c8b16c649684e501b9f330a443b143d.png (http://upload.wikimedia.org/math/4/c/8/4c8b16c649684e501b9f330a443b143d.png)
Burada ve kurtulma hızıhttp://www.1forum.net/images/smilies/smilev.gif G kütleçekim sabitihttp://www.1forum.net/images/smilies/smilev.gif M kaçılan cismin kütlesihttp://www.1forum.net/images/smilies/smilev.gif m kaçan cismin kütlesihttp://www.1forum.net/images/smilies/smilev.gif g yerçekimi ivmesihttp://www.1forum.net/images/smilies/smilev.gif r cismin merkezi ile kurtulma hızının hesaplandığı nokta arasındaki mesafehttp://www.1forum.net/images/smilies/smilev.gif ve μ ise standart kütleçekim parametresini sembolize etmektedir.[2]
Belirli bir irtifada kurtulma hızıhttp://www.1forum.net/images/smilies/smilev.gif o irtifada dairesel orbitte hareket eden cismin hızının katına eşittir. Küresel olarak homojen dağılımlı bir kütleye sahip cisim için yüzeyden kaçışta ihtiyac duyacağı kurtulma hızı ve (m/s cinsinden) yaklaşık 2.364×10−5 m1.5kg−0.5s−1 çarpı yarıçap r (metre cinsinden) çarpı averaj yoğunluğun ρ (kg/m³ cinsinden) karekökü olur.
http://upload.wikimedia.org/math/2/9/9/2999f23a41291930ec067b06311514e3.png (http://upload.wikimedia.org/math/2/9/9/2999f23a41291930ec067b06311514e3.png)
Kurtulma hızını işlence kullanarak türevleme
Aşağıdaki türevlerde Newton'un evrensel çekim kanunuhttp://www.1forum.net/images/smilies/smilev.gif Newton'un hareket kanunları ve integral işlence kullanılmıştır.
g ve r kullanarak türevleme
Dünya'nın kurtulma hızıhttp://www.1forum.net/images/smilies/smilev.gif yüzeyindeki standart yerçekimine bağıl ivme g kullanılarak elde edilebilir. Bu durumda Dünya'nın toplam kütlesi Mhttp://www.1forum.net/images/smilies/smilev.gif veya yerçekimi sabitini G`nin bilinmesine de gerek yoktur. Şimdihttp://www.1forum.net/images/smilies/smilev.gif
r = Dünya'nın yarıçapı
g = Dünya'nın yüzeyindeki yerçekim ivmesi
olsun. Dünya'nın yüzeyinin üzerindeki irtifalardahttp://www.1forum.net/images/smilies/smilev.gif yerçekimi ivmesi Newton'un evrensel çekim kanunu'ndaki ters kare ilişkisi ile bulunur. Dünya'nın yüzeyinden s yükseklikteki bir noktada (ve s > r olduğunda) yerçekimi ivmesi g(r / s)2`dir. Burada m kütlesine sahip cismin yüzeydeki ağırlığı gm ikenhttp://www.1forum.net/images/smilies/smilev.gif s yüksekliğindeki ağırlığı gm (r / s)² olur. Dolayısıylahttp://www.1forum.net/images/smilies/smilev.gif m kütleli ve yüzeyden s yükseklikteki cismihttp://www.1forum.net/images/smilies/smilev.gif yüzeyden s + ds yüksekliğine çıkartabilmek için ihtiyaç duyulan enerji gm (r / s)² ds olacaktır. Bu değer s arttıkça hızla azalacağından dolayıhttp://www.1forum.net/images/smilies/smilev.gif cismin sonsuz yüksekliğe çıkartılabilmesi için ihtiyaç duyulan toplam enerji sonsuza ulaşmaz ve sonlu bir meblaya yaklaşır. Bu mebla yukarıdaki ifadenin integralidir:
http://upload.wikimedia.org/math/7/a/1/7a18a2a3b9f98d33a1ad92259d749737.png (http://upload.wikimedia.org/math/7/a/1/7a18a2a3b9f98d33a1ad92259d749737.png)
http://upload.wikimedia.org/math/a/4/e/a4ecdaba4aa4ec0dbe6dedc627258afb.png (http://upload.wikimedia.org/math/a/4/e/a4ecdaba4aa4ec0dbe6dedc627258afb.png)
Buhttp://www.1forum.net/images/smilies/smilev.gif m kütleli cismin gezegenin yerçekiminden kaçabilmesi için sahip olması gereken kinetik enerjidir. Tabi v hızıyla ilerleyen ve m kütleli cismin toplam kinetik enerjisi Ek = (1/2)mv² formülü ile hesaplandığına görehttp://www.1forum.net/images/smilies/smilev.gif
http://upload.wikimedia.org/math/7/f/4/7f44c1ff9eda410f363058c85d372ffc.png (http://upload.wikimedia.org/math/7/f/4/7f44c1ff9eda410f363058c85d372ffc.png)
şeklinde bir eşitlik kurabiliriz. Burada m`ler birbirini iptal ederhttp://www.1forum.net/images/smilies/smilev.gif ve eşitliği v için çözersekhttp://www.1forum.net/images/smilies/smilev.gif
http://upload.wikimedia.org/math/3/6/e/36e347d26b664254e83ffa78d6e17464.png (http://upload.wikimedia.org/math/3/6/e/36e347d26b664254e83ffa78d6e17464.png)
sonucuna ulaşırız. Dünya'nın yarıçapını r = 6400 kilometrehttp://www.1forum.net/images/smilies/smilev.gif yüzeyindeki yerçekimi ivmesini de g = 9.8 m/s² olarak alırsakhttp://www.1forum.net/images/smilies/smilev.gif
http://upload.wikimedia.org/math/8/0/5/805f4180a1b7cb573c5a42660f9740f4.png (http://upload.wikimedia.org/math/8/0/5/805f4180a1b7cb573c5a42660f9740f4.png)
olacaktır. Bu rakam Isaac Newton'un hesapladığı 11 km/s`lik meblanın biraz üzerindedir.
Ayrıntılı tanım
Belirli bir gravitasyonel alan etkisi altında ve pozisyondahttp://www.1forum.net/images/smilies/smilev.gif bir cismin gravitasyon kaynağından herhangi bir ek ivme gerektirmeden kaçabilmesi için sahip olması gereken minimum hız o cismin kurtulma hızıdır. Kurtulma hızına sahip cisim kaçmayısısa çalıştığı kütleye geri düşmez veya o cisim etrafında herhangi bir yörüngede (orbit) hareket etmez. Kurtulma hızı teoride yönden bağımsızdır; yani bu hıza sahip cisim üç boyutlu bir uzayda hangi yönde hareket ediyor olsun çekim kaynağından kaçmayısısı başaracaktır. Ancak yönhttp://www.1forum.net/images/smilies/smilev.gif pratik uzay uygulamalarında önemlidir çünkü Uzay Mühendisliği bilimince de sıkça incelendiği gibihttp://www.1forum.net/images/smilies/smilev.gif cimsin fırlatılış hızı ile beraber sahip olacağı son yörüngeyi belirler. Dolayısıylahttp://www.1forum.net/images/smilies/smilev.gif kutupsal (polar) yörüngeye yerleştirilecek bir uyduyu taşıyan füzeye atmosferdeki yükselişi esnasında verilecek yön ile eliptik bir yörüngeye yerleştirilecek başka bir uyduyu taşıyan füzeye verilecek yönhttp://www.1forum.net/images/smilies/smilev.gif hemen hemen ayni yükseliş hızına sahip de olsalar farkıdır. Kurtulma hızına ulaştırılıphttp://www.1forum.net/images/smilies/smilev.gif dünyanın yerçekim alanını terk ettirilecek (örn. uzay sondaları) gibi cisimler fırlatılışın genellikle tüm aşamalarını atmosfere dik olarak geçtikten sonra uzay ortamında ateşlenen nispeten küçük roket motorlarıyla gidecekleri hedef gezegene doğru yönlendirilirler.
Aynı fiziksel teoremi tersten düşünecek olursakhttp://www.1forum.net/images/smilies/smilev.gif tek merkezli bir gravitasyonel (yerçekim) alanının etkisi altında ve sonsuz uzaklıktaki bir cisimhttp://www.1forum.net/images/smilies/smilev.gif söz konusu gravitasyonal alanı yaratan kütleye yaklaşırken en fazla o cisimden kaçarken erişmesi gereken minimum hız olan kurtulma hızında seyir edecektir. Kurtulma hızı genellikle kütlelerin yüzeyinde ölçülür. Yanihttp://www.1forum.net/images/smilies/smilev.gif "Dünya'nın kurtulma hızı 11.2 km/s'dir" dedigimizde aslında dünyanın yüzeyindehttp://www.1forum.net/images/smilies/smilev.gif deniz seviyesindeki bir konuma relatif kurtulma hızından bahsederiz. Buna nazaranhttp://www.1forum.net/images/smilies/smilev.gif örneğin 9http://www.1forum.net/images/smilies/smilev.gif000 km yüksekte (uzayda) cismin dünyanın yerçekiminden kaçması için sahip olması gereken kurtulma hızı 7.1 km/s'dir. Bir başka deyişlehttp://www.1forum.net/images/smilies/smilev.gif cisim yerçekim kaynağından uzaklaştıkçahttp://www.1forum.net/images/smilies/smilev.gif o kaynaktan kaçabilmesi için erişmesi gereken kurtulma hızı azalır.
Terimin yanlış kullanımları
Kurtulma Hızıhttp://www.1forum.net/images/smilies/smilev.gif herhangi bir cismin büyük kütlenin etrafındaki herhangi bir yörüngeden çıkması için sahip olması gereken hızla karıştırılmamalıdır. Belirli bir motor ve hareket kabiliyetine sahip cisim (örneğin bir helikopter)http://www.1forum.net/images/smilies/smilev.gif büyük kütlenin kütle merkezinden istedigi herhangi bir hızda uzaklaşabilir. Uzaklık arttıkçahttp://www.1forum.net/images/smilies/smilev.gif cismin büyük kütlenin yerçekiminden ilelebet kurtulabilmesi için çıkması gereken hız azalacaktır.
Bazı bilinen gök cisimlerinin kurtulma hızları
Fırlatılış yeri Kaçılan gökcismi Ve Fırlatılış yeri Kaçılan gökcismi Ve
Güneş'in yüzeyihttp://www.1forum.net/images/smilies/smilev.gif Güneş: 617.5 km/s
Merkür'ün yüzeyihttp://www.1forum.net/images/smilies/smilev.gif Merkür: 4.4 km/s Merkür'ün yüzeyihttp://www.1forum.net/images/smilies/smilev.gif Güneş: 67.7 km/s
Venüs'ün yüzeyihttp://www.1forum.net/images/smilies/smilev.gif Venüs: 10.4 km/s Venüs'ün yüzeyihttp://www.1forum.net/images/smilies/smilev.gif Güneş: 49.5 km/s
Dünya'nın yüzeyihttp://www.1forum.net/images/smilies/smilev.gif Dünya: 11.2 km/s Dünya'nın yüzeyihttp://www.1forum.net/images/smilies/smilev.gif Güneş: 42.1 km/s
Ay'ın yüzeyihttp://www.1forum.net/images/smilies/smilev.gif Ay: 2.4 km/s Ay'ın yüzeyihttp://www.1forum.net/images/smilies/smilev.gif Dünya: 1.4 km/s
Mars'ın yüzeyihttp://www.1forum.net/images/smilies/smilev.gif Mars: 5.0 km/s Mars'ın yüzeyi: Güneş: 34.1 km/s
Jüpiter'in yüzeyihttp://www.1forum.net/images/smilies/smilev.gif Jüpiter: 59.5 km/s Jüpiter'in yüzeyihttp://www.1forum.net/images/smilies/smilev.gif Güneş: 18.5 km/s
Satürn'ün yüzeyihttp://www.1forum.net/images/smilies/smilev.gif Satürn: 35.5 km/s Satürn'ün yüzeyihttp://www.1forum.net/images/smilies/smilev.gif Güneş: 13.6 km/s
Uranüs'ün yüzeyihttp://www.1forum.net/images/smilies/smilev.gif Uranüs: 21.3 km/s Uranüs'ün yüzeyihttp://www.1forum.net/images/smilies/smilev.gif Güneş: 9.6 km/s
Neptün'ün yüzeyihttp://www.1forum.net/images/smilies/smilev.gif Neptün: 23.5 km/s Neptün'ün yüzeyihttp://www.1forum.net/images/smilies/smilev.gif Güneş: 7.7 km/s
Güneş sistemihttp://www.1forum.net/images/smilies/smilev.gif Samanyolu galaksisi: ~1000 km/s[1]
Herhangi bir Karadeliğin yüzeyihttp://www.1forum.net/images/smilies/smilev.gif Karadelik ≥ 299http://www.1forum.net/images/smilies/smilev.gif792.458 km/s
Atmosfer yüzünden Dünya yüzeyine yakın irtifalarda cisme 11.2 km/s'lik hipersonik bir hız kazandırmakhttp://www.1forum.net/images/smilies/smilev.gif cismin hava molekülleri ile kolezyonu sonucu yanarak parçalanmasına sebep olacağından pratikte mümkün değildir. Gerçek uzay uygulamalarındahttp://www.1forum.net/images/smilies/smilev.gif atmosferin yavaşlatıcı etkisini egale etmek için cisim öncelikle alçak Dünya yörüngesine yerleştirilirhttp://www.1forum.net/images/smilies/smilev.gif sonra ikinci bir motor ateşlemesiyle kurtulma hızına ulaştırılır.
Kurtulma hızının hesaplanması
http://upload.wikimedia.org/math/a/d/1/ad127fc362d750a1a21575231cc967e4.png (http://upload.wikimedia.org/math/a/d/1/ad127fc362d750a1a21575231cc967e4.png)
http://upload.wikimedia.org/math/4/c/8/4c8b16c649684e501b9f330a443b143d.png (http://upload.wikimedia.org/math/4/c/8/4c8b16c649684e501b9f330a443b143d.png)
Burada ve kurtulma hızıhttp://www.1forum.net/images/smilies/smilev.gif G kütleçekim sabitihttp://www.1forum.net/images/smilies/smilev.gif M kaçılan cismin kütlesihttp://www.1forum.net/images/smilies/smilev.gif m kaçan cismin kütlesihttp://www.1forum.net/images/smilies/smilev.gif g yerçekimi ivmesihttp://www.1forum.net/images/smilies/smilev.gif r cismin merkezi ile kurtulma hızının hesaplandığı nokta arasındaki mesafehttp://www.1forum.net/images/smilies/smilev.gif ve μ ise standart kütleçekim parametresini sembolize etmektedir.[2]
Belirli bir irtifada kurtulma hızıhttp://www.1forum.net/images/smilies/smilev.gif o irtifada dairesel orbitte hareket eden cismin hızının katına eşittir. Küresel olarak homojen dağılımlı bir kütleye sahip cisim için yüzeyden kaçışta ihtiyac duyacağı kurtulma hızı ve (m/s cinsinden) yaklaşık 2.364×10−5 m1.5kg−0.5s−1 çarpı yarıçap r (metre cinsinden) çarpı averaj yoğunluğun ρ (kg/m³ cinsinden) karekökü olur.
http://upload.wikimedia.org/math/2/9/9/2999f23a41291930ec067b06311514e3.png (http://upload.wikimedia.org/math/2/9/9/2999f23a41291930ec067b06311514e3.png)
Kurtulma hızını işlence kullanarak türevleme
Aşağıdaki türevlerde Newton'un evrensel çekim kanunuhttp://www.1forum.net/images/smilies/smilev.gif Newton'un hareket kanunları ve integral işlence kullanılmıştır.
g ve r kullanarak türevleme
Dünya'nın kurtulma hızıhttp://www.1forum.net/images/smilies/smilev.gif yüzeyindeki standart yerçekimine bağıl ivme g kullanılarak elde edilebilir. Bu durumda Dünya'nın toplam kütlesi Mhttp://www.1forum.net/images/smilies/smilev.gif veya yerçekimi sabitini G`nin bilinmesine de gerek yoktur. Şimdihttp://www.1forum.net/images/smilies/smilev.gif
r = Dünya'nın yarıçapı
g = Dünya'nın yüzeyindeki yerçekim ivmesi
olsun. Dünya'nın yüzeyinin üzerindeki irtifalardahttp://www.1forum.net/images/smilies/smilev.gif yerçekimi ivmesi Newton'un evrensel çekim kanunu'ndaki ters kare ilişkisi ile bulunur. Dünya'nın yüzeyinden s yükseklikteki bir noktada (ve s > r olduğunda) yerçekimi ivmesi g(r / s)2`dir. Burada m kütlesine sahip cismin yüzeydeki ağırlığı gm ikenhttp://www.1forum.net/images/smilies/smilev.gif s yüksekliğindeki ağırlığı gm (r / s)² olur. Dolayısıylahttp://www.1forum.net/images/smilies/smilev.gif m kütleli ve yüzeyden s yükseklikteki cismihttp://www.1forum.net/images/smilies/smilev.gif yüzeyden s + ds yüksekliğine çıkartabilmek için ihtiyaç duyulan enerji gm (r / s)² ds olacaktır. Bu değer s arttıkça hızla azalacağından dolayıhttp://www.1forum.net/images/smilies/smilev.gif cismin sonsuz yüksekliğe çıkartılabilmesi için ihtiyaç duyulan toplam enerji sonsuza ulaşmaz ve sonlu bir meblaya yaklaşır. Bu mebla yukarıdaki ifadenin integralidir:
http://upload.wikimedia.org/math/7/a/1/7a18a2a3b9f98d33a1ad92259d749737.png (http://upload.wikimedia.org/math/7/a/1/7a18a2a3b9f98d33a1ad92259d749737.png)
http://upload.wikimedia.org/math/a/4/e/a4ecdaba4aa4ec0dbe6dedc627258afb.png (http://upload.wikimedia.org/math/a/4/e/a4ecdaba4aa4ec0dbe6dedc627258afb.png)
Buhttp://www.1forum.net/images/smilies/smilev.gif m kütleli cismin gezegenin yerçekiminden kaçabilmesi için sahip olması gereken kinetik enerjidir. Tabi v hızıyla ilerleyen ve m kütleli cismin toplam kinetik enerjisi Ek = (1/2)mv² formülü ile hesaplandığına görehttp://www.1forum.net/images/smilies/smilev.gif
http://upload.wikimedia.org/math/7/f/4/7f44c1ff9eda410f363058c85d372ffc.png (http://upload.wikimedia.org/math/7/f/4/7f44c1ff9eda410f363058c85d372ffc.png)
şeklinde bir eşitlik kurabiliriz. Burada m`ler birbirini iptal ederhttp://www.1forum.net/images/smilies/smilev.gif ve eşitliği v için çözersekhttp://www.1forum.net/images/smilies/smilev.gif
http://upload.wikimedia.org/math/3/6/e/36e347d26b664254e83ffa78d6e17464.png (http://upload.wikimedia.org/math/3/6/e/36e347d26b664254e83ffa78d6e17464.png)
sonucuna ulaşırız. Dünya'nın yarıçapını r = 6400 kilometrehttp://www.1forum.net/images/smilies/smilev.gif yüzeyindeki yerçekimi ivmesini de g = 9.8 m/s² olarak alırsakhttp://www.1forum.net/images/smilies/smilev.gif
http://upload.wikimedia.org/math/8/0/5/805f4180a1b7cb573c5a42660f9740f4.png (http://upload.wikimedia.org/math/8/0/5/805f4180a1b7cb573c5a42660f9740f4.png)
olacaktır. Bu rakam Isaac Newton'un hesapladığı 11 km/s`lik meblanın biraz üzerindedir.