Dİzİler

[ceyLin]

DİZİLER
Tanım:
Tanım kümesi sayma sayıları kümesi, değer kümesi reel sayılar kümesi olan her fonksiyona reel terimli dizi veya kısaca dizi denir.
Reel terimli dizi f: N+ ↔ R biçiminde bir fonksiyondur.
1,2,3,…….,n,…….sayıları için;
f(1) = a1, f(2) = a2,……..f(n) = an,…….terimleri dizinin birinci, ikinci,..….n,……-inci terimleridir.
f dizisi genel olarak (a1, a2, a3,… an,…) veya kısaca (an) ile gösterilir.

SABİT DİZİ
CÎ R olmak üzere, (an) = C ise (an) dizisine
Sabit Dizi denir.

UYARI: a,b,c,d Î R olmak üzere
an + b dizisinde a.d – b.c = 0 ise sabit dizidir.
cn + d

DİZİLERİN EŞİTLİĞİ
" n Î N+ için an = bn ise, (an) ve (bn) dizileri eşittir denir ve (an) = (bn) biçiminde yazılır.

ÖRNEK:
Genel terimleri an = n.(n + 1) ve
bn = 2 + 4… 2n olsun diziler eşittir.
Çünkü " n ÎN+ için 2 + 4 + …2n = n.(n + 1)

DİZİLERDE İŞLEMLER
(an) ve (bn) reel terimli dizi k € R olsun;
(an) + (bn) = (an + bn)
(an) – (bn) = (an – bn)
(an) . (bn) = (an . bn)
bn 0 için; (an) = (an)
(bn) (bn)
k(an) = (k.an)

MONOTON DİZİLER
" n Î N+ için;
an < an+1 == (an) monoton artandır.
an > an+1 == (an) monoton azalandır.
an ≤ an+1 == (an) azalmayandır.
an ≥ an+1 == (an) artmayandır.
Artan veya azalan diziler monoton dizilerdir.

UYARI: a,b,c,d Î R olmak üzere genel terimi
an + b olan dizi için;
cn + d
a) a.d – b.c > 0 ise artandır.
b) a.d – b.c < 0 ise azalandır.

ARİTMETİK DİZİ
Tanım: Ardışık iki terimin arasındaki fark, aynı sabit bir sayı olan dizilere aritmetik dizi denir. Diğer bir ifadeyle " n Î N+ için, an+1 – an = d olacak şekilde bir d Î R varsa (an) dizisine aritmetik dizi, d sayısına da ortak fark denir.
GENEL TERİM

Aritmetik dizinin ilk terimi a1 ve ortak farkı d = 1
olan bir aritmetik dizidir. 5

a1 = a1
a2 = a1 + d
a3 = a2 + d = a1 + 2d
a4 = a3 + d = a1 + 3d
an = an – 1 + d = a1 + (n – 1)d dir.

Demek ki, aritmetik dizinin genel terimi:
an = a1 + (n – 1)d dir.

ARİTMETİK DİZİNİN ÖZELLİKLERİ

1) a ve b gibi iki sayı arasına n tane terim yerleştirilerek oluşturulan aritmetik dizinin ortak farkı:
d = b – a dır.
n + 1
2) Aritmetik dizinin ilk terimi n teriminin toplamı Sn ile gösterilirse,
Sn = n { 2a1 + (n – 1)d } ya da Sn = n (a1 + an) olur.
2 2
3) Bir aritmetik dizide, her terim kendisinden eşit uzaklıkta iki terimin kendisinden eşit uzaklıktaki iki terimin aritmetik ortalamasına eşittir. Diğer bir ifadeyle k < p iken,
ap = ap – k + ap + k dır.
2
4) p ile q arasına aritmetik dizi olacak biçimde n tane yerleştirilirse
k = q – p olur. (q > p)
n +1
5) Bir aritmetik dizide terimlerin
indisler toplamı eşittir.
a1 + an = a2 + an - 1 =…

6) Terimlerin indislerinin aritmetik
ortası terimlerin indisini verir.
a1 + a3 = a2 ve ya a1 + a5 = a3
2 2
7) p > q olmak üzere ap ve aq aritmetik dizinin terimleri olsun:
k = ap – aq
p – q
GEOMETRİK DİZİ
Tanım: Ardışık iki terimin oranı aynı sabit bir sayı olan dizilere geometrik dizi denir.
Diğer bir ifadeyle
" n Î N+ için, an + 1 = r
an
Olacak şekilde bir r Î R varsa (an)
dizisine geometrik dizi,
r sayısına ortak çarpan
veya ortak oran denir.

1
GENEL TERİM
Dizinin ilk terimi a1 ve ortak çarpanı r olsun.
Bu durumda,
a1 = a1
a2 = r.a1
a3 = r.a2 = r2.a1
a4 = r.a3 = r3.a1
Demek ki, geometrik dizinin genel terimi:
an = rn – 1.a1 veya an = rn – p.ap dir.

GEOMETRİK DİZİNİN ÖZELLİKLERİ
1) İlk terimi a1, ortak çarpanı r olan bir geometrik dizinin genel terimi an = a1.rn -1

2) Bir geometrik dizisinin ilk n teriminin toplamı
S = a1. 1 – rn olur. r 0, r 1
1 – r
3) a ve b sayıları arasına bir geometrik dizi olacak biçimde n tane terim yerleştirirse,
r = olur.

4) Bir geometrik dizide bir terim kendinden eşit uzaklıktaki iki terimin geometrik ortasıdır.
(a2)2 = a1.a3
(a16 ) = a4. a28 gibi

ÖRNEK
2. terimi 3/5 ve 5. terimi 75 olan
geometrik dizinin ortak çarpanı nedir?
A) 5 B) 10 C) 15
D) 20 E) 25

ÇÖZÜM:
r5 – 2 = a5/a2
r3 = 75/3.5
r3 = 75/15
r = 5 tir.
YANIT A

ÖRNEK
İlk terimi 6 ve 2. terimi 12 olan aritmetik dizinin 5. terimi nedir?
A) 112 B) 124 C)142
D) 144 E)152
ÇÖZÜM:
r = a1 – a2 = 6
a5 = a1.(n – 1).r
a5=6.4.6 = 144
YANIT D

ÖRNEK
3. terimi 3 ve 5. terimi 6 olan
Geometrik dizinin 7. terimi nedir?
A) 4 B) 8 C) 12
D) 16 E) 20

ÇÖZÜM:
a5 = (a3.a7)1/2
36 = (3.a7)
a7 = 12 YANIT C
ÖRNEK:
2n – 1 dizisinin dördüncü terimi kaçtır?
3n + 5
A) 4/13 B) 5/14 C) 7/17
D) 8/19 E) 9/13

ÇÖZÜM:
n yerine 4 yazarsak;
a4 = 2.4 – 1 = 7
3.4 + 5 17
YANIT C

ÖRNEK:
Genel terimi (an) = n2 + 1; 0 ( mod2)
2n – 1; 1 (mod2)
Olan dizi için a3 + a8 değeri kaçtır?
A) 50 B) 64 C) 65
D) 70 E) 76

ÇÖZÜM:
n tek için an = 2n – 1
a3 = 2.3 – 1 = 5 ve
n çift için an = n2+ 1
a8 = 82 + 1 = 65 ise
(a3) + (a8) = 65 + 5 = 70
YANIT D

ÖRNEK:
(an) = (2n – 1) ve (bn) = (n2 + 1) olduğuna göre,
(an) + (bn) aşağıdakilerden hangisidir?
A) n.(n + 2) B) 2n.(n + 1) C) n2 + 1
D) n2 + 2 E) n.(n + 1)

ÇÖZÜM:
(an) + (bn) = (an + bn) olur. Ve
= (2n – 1 + n2 + 1)
= (n2 + 2n)
= n(n + 2) olur.
YANIT A

ÖRNEK:
2n + 5 dizisinin monotonluk
3n – 1 durumunu inceleyiniz.
A) Monoton artan
b) Monoton azalan
C) Artmayan
D) Azalmayan
E) Sabit

ÇÖZÜM:
Dizinin terimlerini yazalım.
2n + 5 =( 7 , 9 , 11… )
3n – 1 2 5 7
Olduğundan dizi
monoton azalandır.
YANIT B



2
ÖRNEK:
(an) = (n+10)
5
Dizisinin aritmetik dizi olduğunu gösteriniz. Ortak farkını bulunuz.
A) ½ B) ⅔ C) ⅝
D) ⅜ E) 1/5

ÇÖZÜM:
= an+1 – an
= (n+1+10) – (n+10) = 1
5 5 5 r = 1/5
YANIT E

ÖRNEK:
İlk terimi 8 ve ortak farkı 2 olan aritmetik dizinin genel terimi nedir?
A) 2(n+1) B) 2(n+2) C) 2(n+3)
D) 2(n+4) E) 2(n+5)

ÇÖZÜM:
an = a1+(n – 1).d
an = 8 + (n – 1).2
an = 2n + 6
YANIT C

ÖRNEK:
Bir aritmetik dizide ikinci terim 7, on birinci terim 34 olduğuna göre dizinin yirminci terimi kaçtır?
A) 50 B) 61 C) 65
D) 70 E) 76

ÇÖZÜM:
k = a11 – a2 = 39 – 7 = 3
11 – 2 9
an = a1 + (n – 1).k olduğundan
k = a2 – a1 = 3
k = 7 – a1 = 3 == a1 = 4
a20 = 4 + (20 – 1) .k
a20 = 4 + 19.3 = 61
YANIT C

ÖRNEK
39. terimi 19 ve 45. terimi 22 olan aritmetik dizinin ortak farkı kaçtır?
A)⅓ B) ⅔ C) ⅛
D) ⅞ E) ½

ÇÖZÜM:
r = (a45 – a39)
(45 – 39)
r = (22 – 19)
6
r = ½
YANIT E




ÖRNEK
- 8 ve 28 sayıları arasına 8 tane terim yerleştirilerek oluşturulan aritmetik dizinin ortak farkı kaçtır?
A) 5 B) 4 C) 3
D) 2 E) 1

ÇÖZÜM:
r = (b – a)
(k + 1)
r = (28 +8)
(8 + 1)
r = 36 = 4
9
YANIT B

ÖRNEK
19. terimi 42 ve 33. terimi 88 olan
aritmetik dizinin 26. terimi kaçtır?
A) 65 B) 75 C) 85
D) 95 E) 105

ÇÖZÜM:
a26 = (a19+a33)
2
a26 = (42 + 88) = 65
2
YANIT A

ÖRNEK
(an) = (2n+5) dizisinin geometrik dizi olduğunu gösteriniz. Dizinin ortak çarpanını bulunuz.
A) 10 B) 8 C) 6
D) 4 E) 2

ÇÖZÜM:
r = (an+1)
an
r = (2n+1+5) = 2
2n+5
YANIT E

ÖRNEK
İlk terimi 14 ve ortak çarpanı ½ olan geometrik dizinin genel terimi nedir?
A) 2-n B) 21-n C) 22-n
D) 23-n E) 24-n

ÇÖZÜM:
a1 = 4 ve r = ½
an = rn – 1. a1
an = (1/2)n – 1. 4
an = 23 – n
YANIT D

ÖRNEK:
İlk terimi -2 olan ortak farkı 4 olan aritmetik dizinin kaçıncı terimi 14 olur?
A) 5 B) 10 C) 15
D) 20 E) 25 3
ÇÖZÜM:
an = a1+(n – 1).r
14 = -2 + (n – 1).4
16 = 4n – 4
n=5
YANIT A

ÖRNEK:
Bir aritmetik dizinin 10. terimi 8 olduğuna göre 1. ve 19. terimlerin toplamı kaçtır?
A) 2 B) 4 C) 8
D) 16 E) 32

ÇÖZÜM:
a10= a1+a19
2
a1 + a19= 16
YANIT D

ÖRNEK:
4. terimi 14, 10. terimi 38 olan bir aritmetik dizinin 2. terimi kaçtır?
A) 4 B) 5 C) 6
D) 7 E) 8

ÇÖZÜM:
r = a10 – a4
10 – 4
r = 38 – 14 = 4
6
4 = a4 – a2
2
8 = 14 – a2
a2 = 6
YANIT C

ÖRNEK:
1.terimi 2 ortak farkı ¼ olan bir aritmetik dizinin kaçıncı terimi 3 tür?
A) 9 B) 8 C) 7
D) 6 E) 5

ÇÖZÜM:
an = a1+(n – 1).r
3 = 2 +(n – 1). ¼
3 = 2 + ¼n – ¼
1+¼ = ¼n
n = 5
YANIT C

ÖRNEK:
8 ile 50 sayıları arasına bu sayılarla aritmetik dizi oluşturacak şekilde 62 terim yerleştirilirse bu dizinin 19. terimi kaç olur?
A) 10 B) 20 C) 30
D) 40 E) 50




ÇÖZÜM:
r = b – a = 50 – 8 = 42 = 2
k + 1 62 + 1 63 3
a19 = a1 + (n – 1).r
a19 = 8 +(19 – 1).⅔
a19 = 8 + 18. ⅔
a19 = 20
YANIT B

ÖRNEK:
1.terimi 8, 2. terimi 12 olan bir aritmetik dizinin ilk 12 teriminin toplamı kaçtır?
A) 120 B) 240 C) 360
D) 480 E) 600

ÇÖZÜM:
r = 12 – 8 = 4
Sn = n/2.(2a1+(n – 1).r)
Sn = 12/2.(2.8+(12 – 1).4)
Sn= 12/2.(16+44)
Sn = 12/2.60
Sn = 360
YANIT C

ÖRNEK:
Bir an geometrik dizisinde a5 = 24, a8 = 3 ise bu dizinin 7. terimi kaçtır?
A) 2 B) 4 C) 6
D) 8 E) 10

ÇÖZÜM:
a5 = a1.r5–1 = 24
a8 = a1. r8–1 = 3
a1. r4 = 24 ==
a1.r7 3
1 = 8
r3
r3 = 1/8
r = ½

a7 = a5.r7–5
a7 = 24. (½)2
a7 = 24.1 = 6
4
YANIT C

KONU İLE İLGİLİ ÖSS ÖYS SORULARI
1. Bir aritmetik dizinin 8. terimi a olduğuna göre
2. ve 14. terimleri toplamı nedir?
A) 3a B) 2a C) a
D) a/2 E)a/3
1990/ÖYS

2. Bir geometrik dizinin ilk terimi 3/2,
ikinci terimi 3 olduğuna göre, altıncı terimi kaçtır?
A) 28 B) 30 C) 32
D) 39 E) 48
1991/ÖYS
4
3. Yaşları toplamı 48 olan 6 kardeşin yaşları bir aritmetik dizi oluşturmaktadır. En küçük kardeş 3 yaşında olduğuna göre, en büyük kardeşin yaşı kaçtır?
A) 11 B) 13 C) 14
D) 15 E) 17
1994/ÖYS

4. n = 1.2.3… olmak üzere ilk n teriminin toplamı Sn = n2 +1 olan bir dizinin 7. terimi kaçtır?
A) 30 B) 24 C) 22
D) 16 E) 13
1996/ÖYS


ÖSS ÖYS SORULARININ ÇÖZÜMLERİ
1. a8 = a = a2 + 6r ve
a14 = a8 +6r = a +6r olacağından
a2 = a – 6r
a2 +a14 = (a – 6r)+ (a + 6r) = 2a YANIT B

2. Geometrik dizide
an=a1.rn -1
a2 =a1.r
3=3/2.r
r = 2
a6=a1.r5
3/2.25=3.24 = 48
YANIT E

3. 3,3+k… 3+5k
18+15k = 48
k = 2
3+5.2 = 13
YANIT B

4. s1 = 12+1 = 3
s2 = 22+2 = 6
.
.
.
s6 = 62+1 = 37
s7 = 72+1 = 50
s7 – s6 7. terimi verir.
s7 – s6 = 50 – 37 = 13
YANIT E