|
|
#1
27 November 2008, 12:26
|
|||
|
|||
TÜrev
TÜREV:
* Y’,f’(x),dy/dx m,tg q * P noktasına minimum oynama Verdiğimizi düşünelim. Dx,bizde seçilebilen en büyük oynama olsun. * r¹q tg r¹tg q tg r=Dy/Dx * * * * * * * * * * * Lim tg r=tg q Dx®0 lim (Dy/Dx)=tg q Dx®0 lim f(x+Dx)-f(x) / Dx=lim Dy/Dx=dy/dx=y’=f(x) Dx®0 Dx®0 * * R,T’ye nekadar yaklaşırsa,açılar da okadar yakın olur ve Minimumda,yani liitte tan r0tan q olur. Lim Dy=dy Dx®0 * * * * * * * Türevin Tanımı: * Dy/dx=lim f(x+Dx)-f(x) / Dx Dx®0 Fonksiyonun,o noktada sadece bir teğeti vardır. * * Örnek: * Y=x³’ün türevvini türev tanımından bulunuz. * F(x)=y=x³ F(x+Dx)=(x+Dx)³ Dy / dx =lim (x+Dx)³-x³ / Dx Dx®0 =lim x³+3x²Dx+3x(Dx)²+(Dx)³-x³ Dx®0 =lim Dx(3x²+3xDx+(Dx)²) / Dx Dx®0 = 3x² * Hatırlatma: * *Cos(a-b)=Cos a.Cos b+Sin a.Sin b *Cos(a+b)=Cos a.Cos b-Sin a.Sin b *Cos(a-b)+Cos(a+b)=2.Cos a.Cos b *Cos(a-b)-Cos(a+b)=2.Sin a.Si b *Sin(a+b)=Sin a.Cos b+Sin b.Cos a *Sin(a-b)=Sin a.Cos b-Sin b.Cos a *Sin(a+b)+Sin(a-b)=2.Sin a.Cos b *Sin(a+b)-Sin(a-b)=2.Sin b.Cos a *a+b=p a=p+q / 2 *a-b=q b=p-q / 2 *Cos q+Cos p=2Cos p+q / 2 . Cos p-q / 2 *Cos q-Cos p=2Sin p+q / 2 . Sin p-q / 2 *Sin p+Sin q=2Sin p+q / 2 . Cos p+q / 2 *Sin p-Sin q=2Sin p-q / 2 . Cos p+q / 2 * İspat: * F(x)=İn x?y’=? F(x+Dx)=Sin (x+Dx) Dy / dx=lim Sin(x+Dx)-Sin x / Dx Dx®0 = lim 2Sin Dx/2 . Cos (2x+Dx)/2 / Dx Dx®0 =lim Sin (Dx/2 / Dx/2).lim (Cos 2x+Dx / 2) Dx®0 Dx®0 =Cos x * Türevin Temel Özellikleri: * 1)f(x)=(f1(x)+f2(x)+...+fn(x)) f’(x)=( )’ f’(x)=(f1’(x)+f2’(x)+...+fn’(x)) * Bir toplamın türevi,ayrı ayır türevlerin toplamıdır. * 2)f(x)=p(x).r(x)? f’(x).r(x)+f(x).r’(x) * 3)f(x)=w(x)/q(x)? f’(x)=(w’(x).q(x)-w(x).q’(x)) / (q(x))² * Pratik Türev Kuralları: * 1)y=c y’=0 c®sabit * 2)y=c.u y’=c.u’ y=y(u)?y’=c u=u(x) * 3)u=s²+2 u=u(s) w=t²+2t+5 w=w(t) y=x²+4x y=f(x) * Serbast değişkenin kendine göre türevi 1’dir. * y=un y’=n.un-1.u’ * 4)y=k/un y=k.un y’=k.(-n).u-n-1.u’ y’=-kn.u’ / un+1 * 5)y=nÖum y=um/n y’=m/n.um/n – 1.u’ y’=m/n.um-n/n.u’ y’=m.u’ / n.un-m/n y’=m.u’ / nnÖun-m 6)y=lnp.uq=(ln uq)p y=(q.ln u)p y=qp.(ln u)p y’=qp.p(ln u)p-1.1/u.u’ * 7)y=au ln y=u.ln a 1/y’=ln a.u’ y’=au.ln a.u’ * 8)y=uv u=u(x) v=v(x) ln y=v.ln u y’7y=v’.ln(u)+u’/u . v y’=uv.(v’.ln (u)+u’2/u . v) * 9)y=tg u y’=(1+tg²u).u’=1/Cos²u . u’=Sec²u.u’ y=Ctg u y’=-(1+Ctg²u).u’=-1/Sin²u . u’=Cosec²u.u’ y=k.Sinpuq=k.(Sinuq)p y’=k.p.(Sin uq)p-1.Cos uq.q.uq-1.u’ * 10)y=Arc sin u y’=1/Ö1-u² . u’ y=Arc tg u y’=1/1+u² . u’ Sin(Arc sin x)=x Arc tg(tg x)=x * 11)y=Sec u=1/Cos u y’=(Sin u/Cos u.Cos u).u’ y’=Sec u.tg u.u’ * 12)y=Cosec u=1/Sin u y’=-Cosec u.Ctg u.u’ * *y=f(x) şeklindeki fonksiyonlara “açık fonksiyon” denir. *f(x,y)00 şeklindeki fonksiyonlara “kapalı fonksiyon” denir. * y²+xy+exy=0 (kaapalı fonksiyon) y=2x+1 (açık fonksiyon) y-2x-1=0 (kapalı tipte yazılabilen açık fonksiyon) Kapalı fonksiyon Türleri: * Örnek: y²x+3y+exy=0 (2y.y’.x+y²)+3y+exy.ln e.(y+y’.x)=0 2y.y’.x+y²+3y’+y.exy+y’.x.exy=0 Y’(2xy+3+x.exy)=-(y²+y.exy) Y’=-y²+y.exy / 2xy+3+x.exy * Ardışık Türev: * Y’=dy/dx y’’=d²y/dx² y’’’=d³y/dx³ y(n)=dny/dxn * D/dx (türev operatörü) d/dx . y?dy/dx dy’/dx=d/dx.(dy/dx) dy’’/dx=d/dx.(d²y/dx²) * Örnek: * Y=1/x ifadesinin n mertebesinden türevi nedir? * Y’=-1/x² y’’=2/x³ y’’’=-2.3/x4 y(4)=2.3.4/x5 y(n)=(-1)n.n!/xn+1 * * Kapalı Fonksiyonlarda Ardışık Türev: * F(x,y)=0 y’=-f’x/f’y dy’/dx=y’’=d²y/dx² * Örnek: * Y=Sin(x+y)=0 ? y’’=? * y-Sin(x+y)=0 y’=(Cos(x+y).1) / (1-Cos(x+y).1) y’’=(-Sin(x+y).(1+y’).(1-Cos(x+y))-Sin(x+y).(1+y’).Cos(x+y)) / (1-Cos(x+y))² * * Ters Fonksiyon Türevi: * Dy/Dx . Dx/Dy=1 Dy/Dx=1/(Dx/Dy) * lim Dy/Dx=lim 1/(Dx/Dy) Dx®0 Dx®o0 * dy/dx=1/(dx/dy) f’(x)=1/r’(y) * * * * * Örnek: * y²+y+Sin x=0 y’=-f’x/f’y=-Cos x/2y+1 -(y²+y)=Sin x Arc sin(-y²-y)=x -2y-1/Ö1-(-y²-y)²=dx/dy -2y-1/Cos x 0dx 7dy -Cos x 72y+1=1/(dx/dy)=dy/dx * 
|
Normal
