|
|
#1
9 December 2008, 13:12
|
|||
|
|||
kümeler 1997den bügüne
Kümeler 1997'den Bugüne
22 Ekim 1997 - Kümeler Teorisine Giriş 1900 sonrası kümeler teorisi Kümeler matematik ortaya atıldığından beri şu veya bu şekilde kullanılıyordu, ancak ayrı bir teori olarak ortaya atılması çok da eskilere dayanmaz. Cantor'un sonsuz ile ilgili çalışmaları sonsuz kümeleri incelemesine, dolayısıyla da kümelerin ne olduğunu daha net ortaya atmasını gerektirdi. Konuya felsefi girişi sonsuzun türlerini ortaya atmasıyla gelişir: potansiyel sonsuz, büyüyebilir sonsuz ve mutlak sonsuz. Burada potansiyel sonsuz denilen, "n yeterince büyük bir sayı olsun" veya "epsilon yeterince küçük bir pozitif sayı olsun" dememizi sağlar, matematiksel olarak incelenen "sonsuz" denilen nesneler ise büyüyebilir sonsuzun türleridir, mutlak sonsuz ise bunun da ötesidir. Eski bir görüş vardır: "Parça bütünden küçüktür". Bu bir ilke olarak algılanmakta, doğruluğu şüphe götürmez görülmekteydi, ta ki Galileo f(n)=n2 dönüşümünün birebir,örten olmasının bu ilkenin sonsuz kümeler için uygulanamayacağını gösterinceye kadar. Burada yapılabilecek bir iş matematiği sonlu olarak ele almak, sonsuz nesnelerin varlığı ile ilgilenmemek, veya sonsuz nesnelerin nasıl incelenebileceğini araştırmak. Cantor ikinci yolu seçip 1873'de rasyonel sayıların ve cebirsel sayıların sayılabilir (yani doğal sayılar kümesi ile birebir eşlenebilir) olduğunu ispatladı. Acaba reel sayılar da sayılabilir küme teşkil ediyor muydu? Dedekind'e bu soruyu yöneltti, ve sonra da olumsuz olan cevabı kendi buldu. Eşkuvvetlilik kavramının sonsuz kümeleri sınıflandırmak için iyi bir kriter olduğu anlaşıldı. Not: Bu matematik buluşması genelde tarihin anlatılması ve Russel paradoksunun "ayırma aksiyomunu" nasıl şekillendirdiğini, kümelerin kuvvetlerine göre sıralanabileceğini, sonsuz kümelerde de birçok seviyenin olduğu gösterilerek devam etti. 4 Kasım 1997 - Kümeler Teorisi - 2 Aksiyomatik yaklaşım ve ZFC ZFC sisteminde nesneler kümelerden ibaret olacak. Ayrıca bir kümenin yapı taşları olarak küme olmayan atomlar da ele alınabilirdi, ancak bu kavramlara girmeyeceğiz, bu nedenle kümelerin elemanları da kümeler olacak. Kümeler teorisi için kullanacağımız dil eşitlik içeren birinci mertebeden yüklemler mantığı olacaktır. Daha yüksek mertebeden bir dil kullanmayacağız, çünkü o diller zaten kümeler teorisini kendi yüksek mertebeden dağişkenlerini ifade ederken kullanırlar (mesela her x kümesinin elemanı...). Eşitlik içermesi ise aslında gerek değildir, ancak bize kolaylık sağlayacaktır, aksi takdirde eşitliğin tüm özelliklerini birer birer ortaya koymamız gerekecekti. Temel dilimiz bu durumda x=y, xÎy (x ve y herhangi iki değişken) ve önerme bağlaçları ile niceleyiciler (quantifiers) kullanarak elde edilen formüllerden oluşur. Dilde fazlalık sembollerden kurtulmak için önerme bağlaçları olarak (tam küme teşkil eden) {Ø,Ú} yeterlidir, çünkü aşağıda görüldüğü gibi diğer bağlaçlar bu ikisi cinsinden elde edilebilir: fÙy Û Ø(Øf Ú Øy) f®y Û Øf Ú y f«y Û (f®y) Ù (y®f) Benzer şekilde niceleyicilerden sadece birini kullanmak yeterlidir: " kullanalım, o halde $x f için Ø("x Øf) kullanılır. Meraklı dinleyici başka hangi bağlaç ikililerinin tam küme oluşturacağını düşünecek ve muhtemelen en az kaç bağlaç ile bir tam küme elde edilebileceğini görecektir. Artık aksiyomları dile getirebilecek hale geldik: Aksiyom 0. (Küme varlığı) $x (x=x) Bu aksiyom tartıştığımız evrende en az bir nesnenin olduğunu söyler. Aslında, bu aksiyom bir teorem olarak da verilebilirdi, çünkü eşitlik içeren birinci mertebeden yüklemler mantığında $x (x=x) bir teoremdir. Kümelere bir içten bir de dıştan bakış vardır: içten bakışta kümeyi elemanları belirler, dıştan bakışta ise fonksiyonlar, ki bu son dediğimiz kategori teorinin yöntemidir, biz ilkini seçiyoruz yani iki küme aynıdır, eğer elemanları aynı ise: Aksiyom 1. (Genişleme) "x"y"z ((zÎx « zÎy) ® x=y) Kaba sözle x ve y'nin aynı elemanları varsa eşittirler, karşıtı ise mantıksal bir doğrudur (eşitliğin özelliklerinden). Aksiyom 2. Bu aksiyomu daha sonra inceleyeceğiz. Not: Aksiyom 3 olarak ayırma aksiyomu tanıtıldı, boşkümenin varlığı, sadece bu aksiyomlar ele alındığında evrenin sadece boşkümeden oluşabildiği, evrensel bir kümenin olmadığı, sonra da boşkümeden başka kümelerin varlığını inşa yöntemleri vererek garantileyen "çiftleme aksiyomu" verildi, sonra da doğal sayılara karşılık gelen kümelerin inşa edilebileceği örneklendi. 12 Kasım 1997 - Kümeler Teorisi - 3 Hatırlayalım: Aksiyom 4. (Çiftleme) "x"y$z (xÎz Ù yÎz) Bu aksiyom ile iki küme verildiğinde bu ikisini eleman kabul eden, muhtemelen başka elemanlar da içeren bir küme elde edebiliriz, sonra da ayırma aksiyomu ile iki elemanı olan {x,y} kümesi elde edilebilir.Yani çiftleme aksiyomu ile (sırasız) ikililer oluşturulur, sıralı ikili kavramı da matematikte temel bir kavram olduğuna göre, kümeler teorisinde bu kavramı nasıl oluştururuz? Sıralı ikililerin temel özelliği (a,b) = (c,d) ise a=c, b=d olmasıdır. O halde (x,y) = {{x},{x,y}} şeklinde tanımlanırsa bu özelliğin sağlandığı görülür. Fakat (x,y)' = {{{x},0},{{y}}} ile de tanımlasak bu özelliğin sağlandığı görülür. Buradan diyebiliriz ki matematiksel nesneleri belirleyen temel özellikleridir, neyden nasıl yapıldıkları değil! Bu nedenle de mümkün tanımlama çeşitlerinden keyfimize uyan, işleri zorlaştırmayacak olanını tercih ederiz. Sıralı ikili tanımlandığına göre artık sonlu n değerleri için sıralı n-li tanımlamak da mümkündür (nasıl). Artık matematiksel analizde sık sık kullandığımız iki kümenin birleşimi kavramını da ortaya atabiliriz. (Kesişim ve fark kümelerini tanımlayabilecek güçteyiz (nasıl), ancak birleşim için yeni bir aksiyom şart). Aksiyom 5. (Birleşim) "F $A "Y "x (xÎY Ù YÎF ® xÎA) Kaba deyişle elimizde bir kümeler ailesi varsa, bunun elemanlarının birleşimini kapsayan bir küme vardır. Burada yine aksiyom 3 kullanılarak sadece ailedeki kümelerin elemanlarını içeren bir küme elde edilir. 
|
Normal
