Seversintabi.com Türkiye'nin En Büyük Forumu Bence Seversin Tabi

DİZİLER
Tanım: dan R’ye her fonksiyona, reel sayı dizisi denir.
f: R , y =f(×) =a× ise, × yerine 1,2,3,…………,n sayıları yazılarak dizi oluşturulur. Bu dizi, aşağıdaki biçimde yazılır.
(f(n)) =(an) =(a1,a2,a3,………,an,…)

Dizinin n. terimine, bu dizinin genel terimi denir. Genel terim, aynı zamanda dizinin kuralını gösterir.
Örnek: Genel terimi an= olan (an) dizisi veriliyor.
1,2, ve 3. terimlerini bulunuz.
Bu diziyi açık biçimde yazınız.
Dizinin kaçıncı terimi 23/6 dır?
Çözüm:
a) Dizide n yerine sıra ile 1,2ve 3 yazarsak,
a1= = a2= = a3= = bulunur.
b) (an)= ( , , , …………, ,……….)
c) Eğer k. terimi 23/6 ise, = olması gerekir.
= 3k+4 = 46 k=14. terimi dır.
Sabit Dizi
f: R fonksiyonu, sabit fonksiyon ise, f sayısı sabit dizidir. Buna göre sabit dizinin tüm terimleri aynı sabit sayıya eşittir.
c sabit bir sayı olmak üzere, (an) =(c) = (c,c,c,c,…) bir sabit dizidir. Bir dizinin alt dizisi
(an) dizisini göz önüne alalım. için, ve k1<k2<k3<…..< <… olmak üzere oluşturulan (a ) dizisine, (an) dizisinin alt dizisi denir. (a ) dizisinin her terimi, (an) dizisinin bir terimidir. Alt dizi oluşturulurken, n olmasına dikkat edilmelidir.
Örnek: (an) = ( ) = ( , , ,……, ,…)
Bu dizinin ilk 15 terimi hariç, kalan terimlerinin oluşturduğu alt diziyi yazınız.
Tüm terimleri tamsayı olan alt dizilerinden iki tanesini yazınız.
Tüm terimleri 100’den büyük olan alt diziyi yazınız.
Çözüm:
a) (an) = ( ) dizisinde n yerine = n+15 yazılarak, ilk on beş terim dışında kalan terimlerden oluşan alt dizi yazılır. (a ) = =
b) ifadesi tamsayı olması için n yerine 4n,8n,12n,…. koymak gerekir.
İki tanesini yazarsak, ( ) = ( 7n) ve ( ) = (14n) bulunur.
c) > 100 n > n > 57 Yani n 58 olmalıdır. Bu nedenle =n+57 olan dizi aranılan alt dizidir. (a ) = 7n+399 = bulunur.
Örnek: Aşağıdaki dizilerden hangisi yada hangileri (an) = (2n+1) = (3,5,7,…….,2n+1,…) dizisinin bir alt dizisidir?
a) (7) b) ( ) c) (5n+2) d) (10n+3) e) ( )
Çözüm:
a) (7) = (7,7,7,7,……,7,…) sabit dizisi, (an) dizisinin bir alt dizisi değildir. Çünkü n kuralına uyulmamış.
b) ( ) = ( ) dizisi, (2n+1) dizisinde n yerine konularak oluşturulmuştur. >n olduğundan, ( ) dizisi (an) dizisinin bir alt dizisidir.
c) (5n+2) = (7,12,17,……,5n+2,…) dizisinin, (an) dizisinin bir alt dizisi olmadığı açıktır. Çünkü (5n+2) dizisindeki çift sayılar (an) dizisinde yoktur.
d) (10n+3) dizisinin her terimi (an) dizisinde vardır. (2n+1) dizisinde n yerine 5n+1 yazılarak yapılmıştır. 2.(5n+2) +1 = 10n+3
e) ( ) dizisi, (an) dizisinde n yerine konularak yapılmıştır. n >1 > n olacağından ( ) dizisi (an) dizisinin bir alt dizisidir.
Örnek:
(an)= olan dizi veriliyor.
İlk altı terimi belirtmek koşuluyla diziyi açık olarak yazınız.
Dizinin 18. terimini bulunuz.
Her satırın belirttiği üç temek alt diziyi yazınız.
Çözüm:
a) a1 =3 1=2 , a2= 3.2 =6, a3= 3/3 =1
a4 için 4 1(mod3) olduğundan a4 =3 4 = 1
a5 için 5 2(mod3) olduğundan a5 =3.5 =15
a6 için 6 0(mod3) olduğundan a6 =6/3 =2
(an) =(2,6,1, 1,15,2,……, an,…)
b) 18 0(mod3) olduğundan a18 =18/3 =6
c)
1.satır için,
3 modülünde 1’e denk olan sayılar, 1,4,7,3n 2 olduğundan, (3 n) ifadesinde n yerine =3n 2 konarak, ilk satırın oluşturduğu temel alt dizi elde edilir. Bu dizi, (a ) =( 3n+5)
2.satır için,
3 modülünde 1’e denk olan sayılar, 2,5,8,3n 1 ise, (3n) ifadesinde n yerine 3n 1 yazılarak alt dizi elde edilir. (a ) =(3(3n 1) = (9n 3)
3.satır için,
3 modülünde 0’a denk olan sayılar, 0,3,6,3n ise, ifadesinde n yerine 3n yazılarak temel alt dizi elde edilir. (a ) = (n) bulunmuş olur.

Dizilerde İşlemler Dizinin Bir Gerçel Sayı ile Çarpımı
(an) ve (bn) dizileri veriliyor. c R olmak üzere
(an)+(bn) = (an+bn) c. (an)= (c.an)
(an) (bn)= (an bn)
(an).(bn) = (an.bn)
(bn 0)
Aritmetik Dizi
Ardışık terimleri arasındaki fark değişmeyen dizilere aritmetik dizi denir. (an) aritmetik dizi ve r sabit bir sayı olmak üzere, için, = r dir.
Aritmetik dizinin özellikleri
İlk terimi a1 ve ortak farkı r olan (an) aritmetik dizisinde;
1. Genel terim: dir.
2. İlk n terimin toplamı a1 + a2 + a3 + ………+ an = (a1+an) = [2.a1+ ]
3. p<n olmak üzere, = dir. Bu özellikte p=1 alınırsa, = dir.
Bu nedenle bir aritmetik dizide bir terim, her iki yanında bulunan iki terimin aritmetik ortalamasıdır.
Örnek: Ortak farkı 5, beşinci terimi 20 olan aritmetik dizinin ilk 10 teriminin toplamı nedir?
Çözüm: r=5 , a5= 20
a5 = a1+4r 20 = a1 +4.5 a1 =0
= [2.a1+ ] = 5.[2.0 + 9.4] = 225
Örnek: Bir aritmetik dizinin 8.terimi a olduğuna göre 2. ve 14. terimleri toplamı nedir?
Çözüm: a8= a2 + a14 = 2a
Örnek: (an) = (3n+15) dizisi veriliyor.
Bu dizi aritmetik dizi midir?
Aritmetik dizi ise, ortak fark kaçtır?
İlk 10 teriminin toplamı nedir?
Çözüm:
a) an= 3n+15 ise an+1= 3n+18 dir. için, an+1 an= 3 sabit olduğundan aritmetiktir.
b) r =3
c) S10= [2.a1+ ] = 5. [36+(9).3] = 385
Örnek: Dışbükey bir dokuzgenin iç açılarının ölçüleri, sırayla, bir aritmetik dizinin ardışık dokuz terimini oluşturmaktadır. Bu dokuzgenin en küçük iç açısı 120 ise en büyük iç açısı nedir?
Çözüm: Dokuzgenin iç açıları ölçüleri toplamı= (n 2).180 =7.180 = 1260
S9 =9/2(2.120+8.r)
1260 =9/2(240+8r)
280 =240+8r
r =5 a9 = a1+8r =120+40 =160

Geometrik Dizi
(an) ={a1,a2,a3,……,an,…} dizisinin ardışık terimleri arasındaki oran sabit bir r gerçel sayısına eşit ise (an) dizisine geometrik dizi denir. Yani r R olmak üzere her n N+ için =r ise (an) bir geometrik dizidir. r’ ye dizinin ortak çarpanı denir.
Bir geometrik dizinin ilk terimi a1, ortak çarpanı r ise bu dinin terimleri ;
a1, a1r, a1r2, …, a1r(n-1)
bir geometrik dizinin genel terimi: an= a1.r(n-1)
an= an-p.rp şeklinde yazılır.

Geometrik Dizinin Özellikleri:
1) İlk terimi a1, ortak çarpanı r olan bir geometrik dizinin ilk n teriminin toplamı;
Sn=a1+a1r+…+a1rn-1
=a1

2) Bir geometrik dizide herhangi bir terimin karesi bu terimin solundan ve sağından eşit uzaklıkta bulunan terimlerin çarpımına eşittir. Yani;
ap2=ap-k.ak+p

3) an=a1rn-1 genel teriminde n yerine p ve k yazarak ap ve ak terimlerini bulalım;

elde edilir.
Örnek: İlk üç terimi sırasıyla 1, p-2, 16 olan pozitif terimli bir geometrik dizinin 5. terimi kaçtır?
Çözüm:
(p-2)2=1.16
p-2=4
p=6
r=a2/a1=4/1=4
an= a1r(n-1)
a5= a1r(5-1)=1.4(4)=256
Örnek: Yukarıdaki örnekteki aritmetik dizinin 5 ve 10. terimleri arasındaki terimlerinin toplamını bulunuz?
Çözüm:
Sn=a1+a1r+…+a1rn-1
=a1.
S5=1.(1-45)/(1-5)=1023/4
S9=1.(1-49)/(1-9)=262143/8 (arasındaki terimlerin dendiği için 9 aldık)
10. ve 5. terimleri arasında kalan terimlerin toplamı;
S9-S5=262143/8 - 1023/4 = (262143-2046) /8 =260097/8
olarak bulunur.

Örnek: da tanımlı, an = olan dizide an, in kaç katıdır?
Çözüm: an = , =
= = 5n
Örnek: Bir geometrik dizinin ilk terimi , ortak çarpanı 2, n. Terimi y ise ilk n terim toplamının ve y cinsinden değeri nedir?
Çözüm: an= a1r(n-1) y = ise =
Sn = a1. = = ( ) = =
Örnek: Bir geometrik dizinin ilk altı teriminin toplamının, ilk üç teriminin toplamına oranı dir. Bu dizinin r ortak çarpanı nedir?
Çözüm: (an) =(a1.r(n-1)) dizisinde ilk altı terimin toplamı
S6 = ve ilk üç terimin toplamı S3 =
= = = r =
Dizilerde Sınırlılık
Alttan Sınırlı Dizi
(an) dizisinin her terimi, k gibi sabit bir sayıdan büyük ya da eşit kalıyorsa, bu diziye alttan sınırlı dizi denir. Bunu sembolik olarak şöyle yazarız.
k sabit ve için, alttan sınırlı
k sabit sayısı, dizinin bir alt sınırıdır.
Alt sınırların en büyüğüne, dizinin en büyük alt sınırı (EBAS) denir.
Üstten Sınırlı Dizi
(an) dizisinin her terimi, k gibi sabit bir sayıdan küçük ya da eşit kalıyorsa, bu diziye üstten sınırlı dizi denir.
k sabit ve için, üstten sınırlı
Üst sınırların en küçüğüne, dizinin en küçük üst sınırı (EKÜS) denir.
Örnek: (an) =(3n 1) dizisi veriliyor.
Dizinin alttan sınırlı olduğunu gösteriniz.
Dizinin EBAS’ ını bulunuz.
Çözüm: a) (an) =(3n 1) =(2,5,8,……, 3n 1,…) dizisinin her teriminin 2 den büyük ya da eşit olduğu görülmektedir. için, n 1 3n 2 3n 1 2 (an) 2 dir.
Önemli Not:
Genel terimi an = olan bir dizi için,
1) < 1 ise a1 = ve sayılarından büyük olan EKÜS, küçük olan EBAS tır.
2) > 1 ise ye yakın olan tamsayı k ve k+1 ise ak ve ak+1 sayılarından küçüğü EBAS, büyüğü EKÜS tür.