Seversintabi.com Türkiye'nin En Büyük Forumu Bence Seversin Tabi

Gödel'in Eksiklik Teoremi

Gödel'in çağdaşı olan ünlü matematikçi [Link'i Görebilmeniz İçin Kayıt Olunuz.! Kayıt OL], matematikteki tüm ispatların, belli bir yöntemle, yani [Link'i Görebilmeniz İçin Kayıt Olunuz.! Kayıt OL] bir sistem vasıtasıyla, elde edilebileceğini düşünüyordu ve bu doğrultuda çalışmalarına başladı. Temel aritmetikteki tüm doğruları, aksiyomlarından türetebilirse, matematikteki tüm doğruları da bu aksiyomlardan elde edebilecekti.
[Link'i Görebilmeniz İçin Kayıt Olunuz.! Kayıt OL] bunun olanaksızlığını gösterdi. Bunu kısaca şu şekilde yaptı: Bu önerme ispatlanamaz ifadesini [IMG]http://www.************/forum/images/smilies/msn_gift.gif[/IMG] aritmetik sisteminde formülize etti. Aynı şekilde G ifadenin değilini (Bu önerme ispatlanabilir) de formülize etti. Daha sonra, G ifadesinin aritmetik olarak doğruluğu hesaplanabilirse, G ifadesinin değilinin de doğruluğunun hesaplanabileceğini gösterdi. Ve Gödel buradan şu iki sonuca varmıştır:

Elementer aritmetik içeren aksiyomatik bir sistem tutarlı (consistent) ise [Link'i Görebilmeniz İçin Kayıt Olunuz.! Kayıt OL] (complete) değildir.
Elementer aritmetik içeren aksiyomatik bir sistemin tutarlılığını sistemin kendi içinden (sistemin kendi formüllerini ve işlemlerini kullanarak) ispatlamak mümkün değildir.

İşin ilginç tarafı, bu G ifadesi sistemin içine bir aksiyom olarak yerleştirilse bile, yeni bir Gödel cümlesi çıkartılabilir. Yani ne kadar aksiyom eklersek ekleyelim, böyle bir sistemde doğruluğu ya da yanlışlığı ispatlanamayacak bir Gödel cümlesi bulunacaktır.