Oranlı (Rasyonel) sayılar

Matematikte, rasyonel veya oranlı sayılar (veya kesirler) iki tamsayının birbirine oranı ile ifade edilebilen sayılardır. Oranlı sayılar b sıfır olmamak üzere a/b şeklinde (a ve b tamsayı) yazılabilir. 2/3 ve 4/6 veya 6/9 eşdeğer oranlı sayılardır. Dolayısıyla her oranlı sayı sonsuz şekilde ifade edilebilir. Oranlı sayıların en basit formu a ve b tamsayılarının ortak böleninin olmadığı a/b ifadesidir.


Her tam sayı oranlı sayıdır. Çünkü [Link'i Görebilmeniz İçin Kayıt Olunuz.! Kayıt OL] veya [Link'i Görebilmeniz İçin Kayıt Olunuz.! Kayıt OL] veya [Link'i Görebilmeniz İçin Kayıt Olunuz.! Kayıt OL][Link'i Görebilmeniz İçin Kayıt Olunuz.! Kayıt OL] şeklinde yani oranlı sayı tanımına uygun biçimde yazılabilirler. Oranlı sayılar kümesi, tam sayılar kümesi [Link'i Görebilmeniz İçin Kayıt Olunuz.! Kayıt OL]'yi kapsar. Yani [Link'i Görebilmeniz İçin Kayıt Olunuz.! Kayıt OL].


Tanım

Oranlı sayılar kümesi, tam sayıların bir genişlemesidir ve Q ile veya [Link'i Görebilmeniz İçin Kayıt Olunuz.! Kayıt OL] ile gösterilir. [Link'i Görebilmeniz İçin Kayıt Olunuz.! Kayıt OL] kümesi genelde şöyle tanımlanır:

[Link'i Görebilmeniz İçin Kayıt Olunuz.! Kayıt OL]

Daha ince bir tanımı ise tam sayılar üzerinden tanımlanacak bir denklik bağıntısıyla yapılabilir. Böylece her denklik sınıfı bir oranlı sayı olarak anılır. [Link'i Görebilmeniz İçin Kayıt Olunuz.! Kayıt OL] kümesinden seçilmiş keyfî (a,b) ve (c,d) öğeleri için "~" bağıntısı


[Link'i Görebilmeniz İçin Kayıt Olunuz.! Kayıt OL]

olarak tanımlansın. Bunun bir denklik bağıntısı olduğu kolaylıkla kanıtlanabilir. Bu durumda, denklik sınıfları

[Link'i Görebilmeniz İçin Kayıt Olunuz.! Kayıt OL]

olurlar. Oranlı sayı ise basitçe

[Link'i Görebilmeniz İçin Kayıt Olunuz.! Kayıt OL]

şeklinde tanımlanır.
Tanımda paydanın sıfır olmama şartı [Link'i Görebilmeniz İçin Kayıt Olunuz.! Kayıt OL] ifadesinin tanımlanmamış olmasındandır. Bir sayının sıfıra bölümü tanımsızdır.

Oransız (irrasyonel) sayılar

Oransız sayılar (ya da İrrasyonel sayılar), rasyonel sayılar kümesine dahil olmayan reel sayılardır. Kesir olarak ifade edilemeyen bu sayılara π, e ve [Link'i Görebilmeniz İçin Kayıt Olunuz.! Kayıt OL]

Örnekler: 3√7, √2, 5√(9/8)...

3√64 veya √(4/9) irrasyonel sayılar değildir çünkü rasyonel karşılıkları vardır:

3√64=4

√(4/9)=2/3
örnek verilebilir. Q' veya I ile gösterilir. Bu sayılar belli bir düzeni olmaksızın sonsuza kadar devam eden ondalık sayılar (örneğin pi sayısı) veya rasyonel karşılığı olmayan kökler olabilir.