Genel Paylaşım Forumu

ÇOKGENLER

1. Çokgen
Bir düzlemde birbirinden farklı ve herhangi üçü doğrusal olmayan A1, A2, A3, … gibi n tane (n ³ 3) noktayı ikişer ikişer birleştiren doğru parçalarının oluşturduğu kapalı şekillere çokgen denir.
a. İçbükey (konkav) çokgenler: Bir çokgenin bazı kenar doğruları çokgeni kesiyorsa bu tür çokgenlere İçbükey çokgen denir.

http://www.cebirsel.com/maths/ossGeo...r/geo_8.92.gif

b. Dışbükey (konveks) çokgenler: Kenar doğrularının hiçbiri, çokgeni kesmiyorsa bu çokgenlere denir.dışbükey çokgen

http://www.cebirsel.com/maths/ossGeo...r/geo_8.93.gif

c. Çokgenlerin elemanları

A, B, C, D, E noktalarına çokgenin köşeleri denir. Komşu ikiköşeyi birleştiren [AB], [BC], [CD], [DE] ve [EA] doğruparçaları çokgenin kenarlarıdır.

http://www.cebirsel.com/maths/ossGeo...r/geo_8.94.gif

İç bölgede kenarlar arasında oluşan açılara çokgenin iç açıları denir.
İç açılara komşu ve bütünler olan açılara çokgenin dış açıları denir.
Köşeleri birleştiren kenarlar haricindeki doğru parçalarına köşegen adı verilir.

2. Dışbükey Çokgenlerin Özellikleri
a. İç açılar toplamı: Dış bükey bir çokgenin n tane kenarı var ise iç açılarının toplamı
(n - 2) . 180°Üçgen için (3 – 2) . 180° = 180°
Dörtgen için (4 – 2) . 180° = 360°
Beşgen için (5 – 2) . 180° = 540°
b. Dış açılar toplamı: Bütün dışbükey çokgenlerde,
Dış açılar toplamı =360°c. Köşegenlerin sayısı: n kenarlı dışbükey bir çokgenin
http://www.cebirsel.com/maths/ossGeo...r/geo_8.95.gifBir köşeden (n – 3) tane köşegen çizilebilir.

n kenarlı dışbükey bir çokgenin içerisinde, bir köşeden köşegenler çizilerek
(n – 2) adet üçgen elde edilebilir.

3. Düzgün Çokgenler
Bütün kenarlarının uzunlukları eşit ve bütün açılarının ölçüleri eşit olan çokgenlere düzgün çokgen denir.

http://www.cebirsel.com/maths/ossGeo...r/geo_8.96.gif

a. şekildeki düzgün altıgende olduğu gibi düzgün çokgenlerin köşelerinden daima bir çember geçer. Bu çembere çevrel çember denir.http://www.cebirsel.com/maths/ossGeo...r/geo_8.97.gifb. Düzgün çokgenlerde eşit sayıda kenarı birleştiren köşegenler birbirine eşittir.

http://www.cebirsel.com/maths/ossGeo...r/geo_8.98.gif

|AC|=|AE|=|BD| |AD|=|AD|=||

c. Kenar sayısı çift olan düzgün çokgenlerde karşılıklı kenarlar paraleldir.

http://www.cebirsel.com/maths/ossGeo...r/geo_8.99.gif

[AF] // [CD], [AB] // [ED]....[AH] // [DE], [AB] // [FE]...
d. Kenar sayısı tek olan düzgün çokgenlerde karşı kenara çizilen dik karşı kenarı ortalar. Köşeden kenarın ortasına çizilen doğru parçası kenara diktir şeklinde de ifade edilir.

http://www.cebirsel.com/maths/ossGeo...ar/geo_8.1.gif

e. n kenarlı düzgün bir çokgende
http://www.cebirsel.com/maths/ossGeo...ar/geo_8.2.giff. Konveks çokgenlerin dış açıları toplamı 360° olduğundan düzgün çokgenin bir dış açısı
http://www.cebirsel.com/maths/ossGeo...ar/geo_8.3.gif
4. Düzgün Çokgenin Alanı
a. n kenarlı düzgün çokgenin bir kenarı a ve içteğet yarıçapı r ise alanı
http://www.cebirsel.com/maths/ossGeo...ar/geo_8.4.gif http://www.cebirsel.com/maths/ossGeo...ar/geo_8.5.gif
b.n kenarlı bir düzgün çokgende bir kenarı gören merkez açı http://www.cebirsel.com/maths/ossGeo...ar/geo_8.6.gif(Bu açı aynı zamanda dış açıdır) ve çevrel çemberin yarıçapı R ise çokgenin alanı
http://www.cebirsel.com/maths/ossGeo...ar/geo_8.7.gif http://www.cebirsel.com/maths/ossGeo...ar/geo_8.8.gif

Düzgün altıgen altı tane eşkenar üçgenden oluşur.

Bir kenarına a dersek

http://www.cebirsel.com/maths/ossGeo...ar/geo_8.9.gif http://www.cebirsel.com/maths/ossGeo...r/geo_8.10.gif

DÖRTGENLERİN GENEL ÖZELLİKLERİ

1. Bir dörtgende komşu iki iç açının açıortaylarının oluşturduğu açının ölçüsü, diğer iki açının ölçüleri toplamının yarısına eşittir.
http://www.cebirsel.com/maths/ossGeo...r/geo_8.11.gif http://www.cebirsel.com/maths/ossGeo...r/geo_8.12.gif
2. Bir dörtgende karşı iki açının açıortayları arasındaki dar açının ölçüsü diğer iki açının ölçüleri farkının mutlak değerinin yarısına eşittir.
http://www.cebirsel.com/maths/ossGeo...r/geo_8.13.gif http://www.cebirsel.com/maths/ossGeo...r/geo_8.14.gif3. Köşegenleri ve köşegenlerinin arasındaki açısının ölçüsü
bilinen dörtgenin alanı;
ABCD dörtgeninde [AC] ve [BD] köşegen uzunlukları ile a
biliniyor

http://www.cebirsel.com/maths/ossGeo...r/geo_8.15.gif http://www.cebirsel.com/maths/ossGeo...r/geo_8.16.gif

Köşegenleri birbirine dik olan dörtgenlerde
(sin 90° = 1 olduğundan)

http://www.cebirsel.com/maths/ossGeo...r/geo_8.17.gif http://www.cebirsel.com/maths/ossGeo...r/geo_8.18.gif

Köşegen doğruları birbirine dik ise

http://www.cebirsel.com/maths/ossGeo...r/geo_8.19.gif http://www.cebirsel.com/maths/ossGeo...r/geo_8.20.gif
4. Köşegenleri ve köşegenlerinin arasındaki açısının ölçüsü bilinen içbükey dörtgenin alanı; [AC] ve [BD] köşegenleri ile köşegen doğruları arasındaki a biliniyor ise ABCD içbükey dörtgeninin alanı;

http://www.cebirsel.com/maths/ossGeo...r/geo_8.21.gif http://www.cebirsel.com/maths/ossGeo...r/geo_8.22.gif
5. Köşegenleri dik kesişen dörtgenlerin kenarları arasındaki bağıntı; ABCD dörtgeninde
[AC] ^ [BD] http://www.cebirsel.com/maths/ossGeo...r/geo_8.23.gifKöşegenleri dik olan dörtgenlerin karşılıklı kenarlarının kareleri toplamı eşittir.

Köşegenleri dik içbükey dörtgenlerde de karşılıklı kenarların kareleri toplamı eşittir.

ABCD dörtgeninde

http://www.cebirsel.com/maths/ossGeo...r/geo_8.24.gif http://www.cebirsel.com/maths/ossGeo...r/geo_8.25.gif6. Dörtgenlerde köşegenlerin ayırdığı alanlar; ABE ve ADE üçgenlerinin yükseklikleri eşit olduğundan alanlarının oranı tabanlarının oranına eşittir.http://www.cebirsel.com/maths/ossGeo...r/geo_8.26.gif
7. Dörtgenlerde kenarların orta noktalarının birleştirilmesiyle oluşan paralelkenar; ABCD dörtgeninde kenarların orta noktaları birleştirilerek oluşan KLMN dörtgeni paralelkenardır. Paralelkenarın alanı dörtgenin alanının yarısına eşittir. [KL] // [BD] // [MN] ve |KL| = |MN| = http://www.cebirsel.com/maths/ossGeo...r/geo_8.27.gif
[LM] // [AC] // [KN] ve |LM| = |KN| =http://www.cebirsel.com/maths/ossGeo...r/geo_8.28.gif
http://www.cebirsel.com/maths/ossGeo...r/geo_8.29.gif

Köşegenleri dik kesişen dörtgenlerde, kenarların orta noktaları birleştirilerek elde edilen dörtgen, dikdörtgendir.

http://www.cebirsel.com/maths/ossGeo...r/geo_8.30.gif

[AC] ^ [BD] ve K, L, M, N kenarların orta noktaları ise KLMN dikdörtgendir.