üçgende açıortay
 

1. Açıortay
Herhangi bir açının ölçüsünü iki eş açıya bölen ışınlara açıortay denir.
Yandaki şekilde AOB açısını iki eş açıya ayıran [OC ışınına açıortay denir.
http://www.cebirsel.com/maths/ossGeo...r/geo_6.22.gifAçıortay üzerindeki herhangi bir noktadan açının kenarlarına çizilen dik uzunluklar eşittir.
AOB bir açı,
[OC açıortay
m(AOC) = m(COB)
|AC| = |CB| AOC ve BOC eş
üçgenler olduğundan
|OA| = |OB|
http://www.cebirsel.com/maths/ossGeo...r/geo_6.23.gif2. İç Açıortay Bağıntısı
ABC üçgeninde [AN] açıortay ABN ve ANC üçgenlerinin
[BC] tabanına göre, yükseklikleri eşit olduğundan
http://www.cebirsel.com/maths/ossGeo...r/geo_6.24.gifolur .....(1)http://www.cebirsel.com/maths/ossGeo...r/geo_6.25.gif
ABN üçgeninde [AB] kenarına ait yükseklik ANC üçgeninde [AC] kenarına ait yüksekliğe eşittir.
http://www.cebirsel.com/maths/ossGeo...r/geo_6.24.gifolur .....(2)http://www.cebirsel.com/maths/ossGeo...r/geo_6.26.gif[AN] açıortay olmak şartıyla bu iki alan oranını birleştirirsek; (1) ve (2) den
http://www.cebirsel.com/maths/ossGeo...r/geo_6.27.gifolur
ABC üçgeninde [AN] açıortay olmak şartıyla
http://www.cebirsel.com/maths/ossGeo.../geoka0601.gifBuradan http://www.cebirsel.com/maths/ossGeo...r/geo_6.28.gif ve b.y=c.x eşitlikleri de elde edilir.http://www.cebirsel.com/maths/ossGeo...r/geo_6.29.gif3. İç Açıortay Uzunluğu
ABC üçgeninde A köşesinden çizdiğimiz açıortay
uzunluğuna nA dersek
http://www.cebirsel.com/maths/ossGeo...r/geo_6.30.gifhttp://www.cebirsel.com/maths/ossGeo...r/geo_6.31.gif4. Dış Açıortay Bağıntısı
ABC üçgeninde [AD], A köşesine ait dış açıortaydır.
http://www.cebirsel.com/maths/ossGeo...r/geo_6.32.gifhttp://www.cebirsel.com/maths/ossGeo...r/geo_6.33.gif5. Dış Açıortay Uzunluğu
ABC üçgeninde [AD] dış açıortayının uzunluğuna
n'A dersek
http://www.cebirsel.com/maths/ossGeo...r/geo_6.34.gifhttp://www.cebirsel.com/maths/ossGeo...r/geo_6.35.gif6. İç açıortayla dış açıortay arasındaki açı
m(DAE)=90°


http://www.cebirsel.com/maths/ossGeo...r/geo_6.36.gifABC üçgeninde [AD] iç açıortayı ile [AE] dış açıortayı arasındaki açı için
2a + 2b = 180°
a + b = 90° dir.
[DA] ^[AE]

• Bir üçgende iç açıortayların kesim noktası iç teğet çemberin merkezidir.

P noktasının kenarlara uzaklığı eşittir. Merkezden indirilen dikmeler iç teğet çemberin yarıçapı olur.

http://www.cebirsel.com/maths/ossGeo...r/geo_6.37.gif

• ÜÇGENDE KENARORTAY BAĞNTILARI

1. Ağırlık Merkezi
Üçgenlerde kenarortaylar bir noktada kesişirler.Kenarortayların kesişim noktasına ağırlık merkezi denir.
ABC üçgeninde [AD], [BE] ve [CF] kenarortaylarının
kesiştikleri G noktasına ABC üçgeninin ağırlık merkezi
denir.
http://www.cebirsel.com/maths/ossGeo...r/geo_6.38.gifa. Ağırlık merkezi kenarortayı, kenara 1 birim, köşeye 2 birim olacak şekilde böler.
ABC üçgeninde D, E, F noktaları bulundukları kenarların
orta noktaları ve G ağırlık merkezi ise
http://www.cebirsel.com/maths/ossGeo...r/geo_6.39.gifeşitlikleri vardır.http://www.cebirsel.com/maths/ossGeo...r/geo_6.40.gif
b. Bir üçgende iki kenarortayın kesişmesiyle oluşan nokta ağırlık merkezidir.http://www.cebirsel.com/maths/ossGeo...r/geo_6.41.gif
c.ABC üçgeninde [AD] kenarortay ve |AG| = 2|GD| olduğundan G noktası
ağırlık merkezidir.
http://www.cebirsel.com/maths/ossGeo...r/geo_6.42.gif
d. ABC üçgeninde [AD] kenarortay ve |CG| = 2|FG| olduğundan G noktası ağırlık merkezidir.
http://www.cebirsel.com/maths/ossGeo...r/geo_6.43.gif
e. ABC üçgeninde |AG| = 2|GD| ve |CG| = 2|GF|
eşitliğini sağlayan G noktası ABC
üçgeninin ağırlık merkezidir.
http://www.cebirsel.com/maths/ossGeo...r/geo_6.44.gif2. Dik üçgende hipotenüse ait kenarortay hipotenüsün yarısına eşittir.
ABC dik üçgeninde [BD] hipotenüse ait kenarortay
|AG|=|DC|=|BD|http://www.cebirsel.com/maths/ossGeo...r/geo_6.45.gif3. Kenarortayların Böldüğü Alanlar

a.Kenarortaylar üçgenin alanını altı eşit parçaya bölerler.
http://www.cebirsel.com/maths/ossGeo...r/geo_6.46.gif
b.G ağırlık merkezi köşelere birleştirildiğinde üçgenin alanı üç eşit parçaya bölünür.http://www.cebirsel.com/maths/ossGeo...r/geo_6.47.gif
c. G ağırlık merkezi kenarların orta noktaları ile birleştirildiğinde üçgenin alanı üç eşit parçaya bölünür.http://www.cebirsel.com/maths/ossGeo...r/geo_6.48.gif
4.ABC üçgeninde kenarortaylar ve [FE] çizilirse |AK| = 3x
|KG| = x
|GD| = 2x eşitlikleri bulunur.
http://www.cebirsel.com/maths/ossGeo...r/geo_6.49.gifK noktası [AD] kenarortayının orta noktasıdır.
[FE] //[BC]2[FE]=[BC]
a. ABC üçgeninde kenarortaylar ve [FE] çizildiğinde şekildeki gibi bir alan bölünmesi oluşur.
http://www.cebirsel.com/maths/ossGeo...r/geo_6.50.gif
b.Kenarların orta noktalarını birbirine birleştirdiğimizde üçgenin alanı dört eşit parçaya bölünür.http://www.cebirsel.com/maths/ossGeo...r/geo_6.51.gif
5. Kenarortay Uzunluğu
ABC üçgeninde A köşesinden çizilen
kenarortayın uzunluğuna Va dersek
http://www.cebirsel.com/maths/ossGeo...r/geo_6.52.gifBu bağıntı diğer kenarortaylar içinde geçerlidir.
http://www.cebirsel.com/maths/ossGeo...r/geo_6.53.gifKenarortaylar taraf tarafa toplanırsa
http://www.cebirsel.com/maths/ossGeo...r/geo_6.54.gif
Kenarortaylar taraf tarafa toplanırsa
http://www.cebirsel.com/maths/ossGeo...r/geo_6.55.gif

6. Dik Üçgende Kenarortaylar
A açısı 90° olan bir dik üçgende kenarortaylar arasında
http://www.cebirsel.com/maths/ossGeo...r/geo_6.56.gifhttp://www.cebirsel.com/maths/ossGeo...r/geo_6.57.gif