İkİncİ Dereceden Bİr Bİlmeyenlİ Denklemler
İKİNCİ DERECEDEN BİR BİLMEYENLİ DENKLEMLER
A¹ 0 ve a,b,c Î R olmak koşulu ile, f(x)= ax2 + bx +c ile tanımlı f: R ® R fonksiyonuna ikinci dereceden bir değişkenli fonksiyon denir. F(x) = ax2 + bx +c = 0 açık önermesine de ikinci dereceden bir bilinmiyenli denklem denir.
F(x) = ax2 + bx +c = 0 denkleminin çözümü için genelde dört yöntem uygulanır.
a)Çarpanlara ayırma
b)Tam karelere tamamlama
c)Formül kullanma
D = b2 – 4ac
D > 0 ise
D = 0 ise ( çakışık kök)
D < 0 ise gerçek kök yoktur.
d)Grafik çizim yöntemi
ÖRNEKLER
1."a Î R için aşağıdakilerden hangisi ikinci dereceden denklemdir?
a) ( a+3) x2 + 2x +5 =0
b) (a2 – 4) x2+x –1 = 0
c) ax2+5x+1 =0
d)
e) (a2+1)x2+5x – a = 0
ÇÖZÜM:
Seçenekler incelendiğinde,
a= -3 için olmaz
a= 2 Ù a = -2 için olmaz.
A= 0 için olmaz
A= 1 için olmaz .
aÎR dir.
Doğru Seçenek E
2.(a+ 2)x3+x2-x+a=0 denklemi ikinci dereceden bir denklem olduğuna göre, köklerin biri kaçtır?
ÇÖZÜM :
A= - 2 için denklem ikinci derece denklem olur.
X2 – x –2 = 0
( x+1) ( x-2) =0
x1= -1 , x2= 2
Doğru Seçenek D
3.4x2 – 15x + 2 = 0 Denkleminin köklerini bulunuz.
ÇÖZÜM :
A= 4, b= -15 , c= 2
D = 193, olur.
4.x2+ 7x –m =0 denkleminin gerçek köklerinin olmaması için m hangi koşulu sağlamalıdır?
ÇÖZÜM:
D < 0 olmalı.
A= 1, b= 7, c= -m
olur.
5.2x2-3x+k=1 denkleminin gerçek köklerinin olması için k hangi koşulu sağlamalıdır?
ÇÖZÜM:
D > 0 olmalı.
A=2, b= -3, c= k-1
olmalı.
6.7x2 –13x +k +8 =0 denkleminin denkleminin kökleri çakışık olduğuna göre, bu denklemin köklerini bulunuz.
ÇÖZÜM:
olur.
7.7x2 +9kx –2 =0 denkleminin bir kökü 2 ise k yı bulunuz.
ÇÖZÜM :
Kök denklemi sağlayan değerdir.
X=2 için 7.4 + 18k –2 = 0
8.11x2-26x+15 =0 denkleminin köklerini bulunuz?
ÇÖZÜM:
11x2- 26x +15 = 0
11x -15
x -1
(11x-15) ( x-1)=0
olur.
9.x2+ax +b =0 ve 2x2+ ( b+1).x +a =0 denklemlerinin çözüm kümelerinin eşit olması için a+b kaç olmalıdır?
A) 1 B) 2 C) 3 D) 4 E) 5
ÇÖZÜM:
İki denklemin çözüm kümelerinin eşit olması için aynı dereceli katsayıları orantılı olmalıdır.
Doğru seçenek A
10.I. x2 +ax +1 =0
II. 2x2+ (2a+1).x –1 =0
Denklemlerinin birer kökleri eşittir.
I.denklemin diğer kökü kaçtır?
A) 1 B) C) D) 0 E) –1
ÇÖZÜM :
Eşit kök x1olsun.
}Þx1=3
I.denklemde x1 =3 Þ yerine yazılırsa
düzenlenirse,
olur.
Doğru seçenek C
11.x2-2mx + m2 +2m-4 =0denkleminin eşit iki kökü olması için m kaçtır?
A) 1 B) 2 C) 3 D) 4 E) 5
ÇÖZÜM:
D = 0 Olmalı
D = 4m2-4(m2 +2m –4) =0
m=2 0lur.
Doğru seçenek B
A¹ 0 ve a,b,c Î R olmak koşulu ile, f(x)= ax2 + bx +c ile tanımlı f: R ® R fonksiyonuna ikinci dereceden bir değişkenli fonksiyon denir. F(x) = ax2 + bx +c = 0 açık önermesine de ikinci dereceden bir bilinmiyenli denklem denir.
F(x) = ax2 + bx +c = 0 denkleminin çözümü için genelde dört yöntem uygulanır.
a)Çarpanlara ayırma
b)Tam karelere tamamlama
c)Formül kullanma
D = b2 – 4ac
D > 0 ise
D = 0 ise ( çakışık kök)
D < 0 ise gerçek kök yoktur.
d)Grafik çizim yöntemi
ÖRNEKLER
1."a Î R için aşağıdakilerden hangisi ikinci dereceden denklemdir?
a) ( a+3) x2 + 2x +5 =0
b) (a2 – 4) x2+x –1 = 0
c) ax2+5x+1 =0
d)
e) (a2+1)x2+5x – a = 0
ÇÖZÜM:
Seçenekler incelendiğinde,
a= -3 için olmaz
a= 2 Ù a = -2 için olmaz.
A= 0 için olmaz
A= 1 için olmaz .
aÎR dir.
Doğru Seçenek E
2.(a+ 2)x3+x2-x+a=0 denklemi ikinci dereceden bir denklem olduğuna göre, köklerin biri kaçtır?
ÇÖZÜM :
A= - 2 için denklem ikinci derece denklem olur.
X2 – x –2 = 0
( x+1) ( x-2) =0
x1= -1 , x2= 2
Doğru Seçenek D
3.4x2 – 15x + 2 = 0 Denkleminin köklerini bulunuz.
ÇÖZÜM :
A= 4, b= -15 , c= 2
D = 193, olur.
4.x2+ 7x –m =0 denkleminin gerçek köklerinin olmaması için m hangi koşulu sağlamalıdır?
ÇÖZÜM:
D < 0 olmalı.
A= 1, b= 7, c= -m
olur.
5.2x2-3x+k=1 denkleminin gerçek köklerinin olması için k hangi koşulu sağlamalıdır?
ÇÖZÜM:
D > 0 olmalı.
A=2, b= -3, c= k-1
olmalı.
6.7x2 –13x +k +8 =0 denkleminin denkleminin kökleri çakışık olduğuna göre, bu denklemin köklerini bulunuz.
ÇÖZÜM:
olur.
7.7x2 +9kx –2 =0 denkleminin bir kökü 2 ise k yı bulunuz.
ÇÖZÜM :
Kök denklemi sağlayan değerdir.
X=2 için 7.4 + 18k –2 = 0
8.11x2-26x+15 =0 denkleminin köklerini bulunuz?
ÇÖZÜM:
11x2- 26x +15 = 0
11x -15
x -1
(11x-15) ( x-1)=0
olur.
9.x2+ax +b =0 ve 2x2+ ( b+1).x +a =0 denklemlerinin çözüm kümelerinin eşit olması için a+b kaç olmalıdır?
A) 1 B) 2 C) 3 D) 4 E) 5
ÇÖZÜM:
İki denklemin çözüm kümelerinin eşit olması için aynı dereceli katsayıları orantılı olmalıdır.
Doğru seçenek A
10.I. x2 +ax +1 =0
II. 2x2+ (2a+1).x –1 =0
Denklemlerinin birer kökleri eşittir.
I.denklemin diğer kökü kaçtır?
A) 1 B) C) D) 0 E) –1
ÇÖZÜM :
Eşit kök x1olsun.
}Þx1=3
I.denklemde x1 =3 Þ yerine yazılırsa
düzenlenirse,
olur.
Doğru seçenek C
11.x2-2mx + m2 +2m-4 =0denkleminin eşit iki kökü olması için m kaçtır?
A) 1 B) 2 C) 3 D) 4 E) 5
ÇÖZÜM:
D = 0 Olmalı
D = 4m2-4(m2 +2m –4) =0
m=2 0lur.
Doğru seçenek B