O halde, y = ax2 + bx + c nin grafiği aşağıdaki gibidir.









ÖRNEKLER

1. y = x2 – 4x + 3 fonksiyonunun grafiğini çizelim.

Verilen fonksiyonda, a = 1 , b = -4 ve c = 3 tür.
Tepe noktasının koordinatları;
olduğundan, tepe noktası T(2, -1) dir.
Eksenleri kestiği noktaların koordinatlarını bulalım.
x = 0 için, y = 02 – 4.0 + 3 = 3  y eksenini kestiği nokta (0, 3) olur.
y = 0 için, x2 – 4x + 3 = 0 denkleminin kökleri x1 = 3, x2 = 1 olduğundan, x eksenini kestiği noktalar, (1, 0) ve (3, 0) bulunur.

Elde ettiğimiz bilgilerden yararlanıp değişim tablosu yaparak grafiği çizelim.






2. y = -x2 + x + 2 fonksiyonunun grafiğini çizelim.

Verilen fonksiyonda a = -1, b = 1 ve c = 2 dir.
Tepe noktasının koordinatları;
olduğundan, tepe noktası olur.

x = 0 için, y = 2 dir. O halde, y eksenini kesen nokta (0, 2) dir.
y = 0 için, -x2 + x + 2 = 0  x2 – x – 2 = 0  (x – 2) (x + 1) = 0
 x1 = 2 v x2 = -1 dir.

O halde, x eksenini kestiği noktalar; (2, 0) ve (-1, 0) dır.
Değişim tablosunu düzenleyip parabolü çizelim.






3. y = x2 – 4 fonksiyonunun grafiğini çizelim.

1. YOL: Verilen fonksiyonda, a = 1 , b = 0 ve c = -4 tür.
Tepe noktasının koordinatları;
olduğundan, tepe noktası T(0. 4) olur.

x = 0 için, y = -4 olduğundan grafik, y eksenini (0, -4) noktasında keser.
y = 0 için, x2 – 4 = 0  x2 = 4  x1 = 2 v x2 = -2 olduğundan, grafik x eksenini (-2, 0) noktalarında keser.





Değişim tablosunu düzenleyip parabolü çizelim.






y = ax2 + c biçiminde ifade edilen fonksiyonların grafiklerinin tepe noktası T(0, c) dir. Bu nokta y ekseni üzerinde işaretlenerek a > 0 ise grafiğin kolları yukarı doğru, a < 0 ise, kollar aşağı doğru çizilir.





2. YOL: Yukarıdaki açıklamaya göre y = x2 – 4 fonksiyonunun grafiğinin tepe noktas, T(0, -4) tür. a = 1 > 0 olduğundan, grafik yandaki gibidir.








4. y = x2 – 2x fonksiyonunun grafiğini çizelim.

Verilen fonksiyonda, a = 1 , b = -2 ve c = 0 dır.
Tepe noktasının koordinatları;
olduğundan, tepe noktası T(1. -1) dir.

x = 0 için, y = 02 – 2.0 = 0  Grafik y eksenini (0. 0) noktasında keser.
y = 0 için, x2 – 2x = 0  x(x – 2) = 0 x1 = 0 v x2 = 2
Grafik, x eksenini (0, 0) ve (2, 0) noktalarında keser.
Değişim tablosunu düzenleyip parabolü çizelim.






y = ax2 + bx + c parabolünde c = 0 ise, grafik orijinden geçer.

5. y = 2(x – 1)2 – 8 fonksiyonunun grafiğini çizelim.

y = a(x – r)2 + k biçiminde ifade edilen fonksiyonların grafiklerinin tepe noktası, T(r. k) idi.
O halde; y = 2(x – 1)2 – 8 fonksiyonunun tepe noktası; T(1, -8) dir.
x = 0 için, y = 2(0 – 1)2 – 8 = -6 ise, grafik y eksenini (0, 6) noktasında keser.
x1 = -1
y = 0 için, 2(x – 1)2 – 8 = 0  2(x – 1)2 = 8  x – 1 = 2
x2 = 3
Grafik x eksenini, (-1, 0) ve (3, 0) noktalarında keser.
Değişim tablosunu düzenleyip parabolü çizelim.







6. y = x2 +2x-1 fonksiyonunun grafiğini çizelim.

Verilen fonksiyonda, a = x-1 , b = 2 ve c = -1 dir.

Tepe noktası, T(1, 0) dır.
x = 0 için, y = -1 ise, grafik y ekseni (0, -1) de keser.
y = 0 için, x2 + 2x-1 = 0 (x-1)2 = 0 x1 = x2 = 1

Grafik, ş eksenine (1, 0)noktasında teğettir. Niçin?

Değişim tablosunu düzenleyip parabolü çizelim.







y = 0 ax2 + bx + c parabolümde, ax2 + bx + c = 0 denkleminin eşit iki kökü varsa yani,  = 0 ise, parabol tepe noktasında ş eksenine teğettir.

a<0 ise; a>0 ise;





7. y = x2-2x + 5 fonksiyonunun grafiğini çizelim.

Verilen denklemde, a = 1, b = -2, c = 5 tir.

Tepe noktası T (1, 4) tür.

x = 0 için, y = 5 ise, grafik y ekseni (0, 5) noktasında keser.
y = 0 için, x2-2ş + 5 0  = 4 - 4.5 = -16<0 gerçek kök yoktur. Grafik x eksenini kesmez.

Değişim tablosunu düzenleyip parabolü çizelim.






y = ax2 + bx + c parabolünde, ax2 + bx + c = 0 denkleminin kökleri yoksa, yani <0 ise, grafik x eksenini kesmez.

a>0 ise; a<0 ise;






8. Yanda grafiği verilen,
y = mx2 + x +2 fonksiyonu,
P(2, 1) noktasından geçiyor
ise, m'yi bulalım.


P noktasının koordinatları, verilen fonksiyon denklemini sağlar. Yani,
y = -mx2 + x + 2
1 = m . 22 + 2 + 2 4m = 3 bulunur.

İKİNCİ DERECEDEN BİR FONKSİYONUN GÖRÜNTÜ KÜMESİNİN
EN BÜYÜK VEYA EN KÜÇÜK ELEMANINI BULMA

y = ax2 + bx + c fonksiyonunun grafiğini çizmiştik. Şimdi bu grafikten yararlanarak fonksiyonun en küçük veya en büyük elemanını bulalım.

a>0 ise;





Grafikte görüldüğü gibi, x değişkeni ya kadar artarken, y fonksiyonu dan ya kadar azalmaktadır. x değişkeni, doğru artmaya devam ederken, y fonksiyonu da a doğru artmaktadır. Yani, y'nin en küçük değerini, olarak aldığı grafikte açık olarak görülmektedir.

Bu değere, fonksiyonun görüntü kümesinin en küçük (minimum) değeri denir.

a>0 olmak üzere, y = a2 + bx + c fonksiyonunun görüntü kümesinin en küçük değeri, tepe noktasının ordinatıdır.

Yani, dır. En büyük değeri yoktur.