![]() |
![]() |
|
#1
|
|||
|
|||
![]()
O halde, y = ax2 + bx + c nin grafiği aşağıdaki gibidir.
ÖRNEKLER 1. y = x2 – 4x + 3 fonksiyonunun grafiğini çizelim. Verilen fonksiyonda, a = 1 , b = -4 ve c = 3 tür. Tepe noktasının koordinatları; olduğundan, tepe noktası T(2, -1) dir. Eksenleri kestiği noktaların koordinatlarını bulalım. x = 0 için, y = 02 – 4.0 + 3 = 3 y eksenini kestiği nokta (0, 3) olur. y = 0 için, x2 – 4x + 3 = 0 denkleminin kökleri x1 = 3, x2 = 1 olduğundan, x eksenini kestiği noktalar, (1, 0) ve (3, 0) bulunur. Elde ettiğimiz bilgilerden yararlanıp değişim tablosu yaparak grafiği çizelim. 2. y = -x2 + x + 2 fonksiyonunun grafiğini çizelim. Verilen fonksiyonda a = -1, b = 1 ve c = 2 dir. Tepe noktasının koordinatları; olduğundan, tepe noktası olur. x = 0 için, y = 2 dir. O halde, y eksenini kesen nokta (0, 2) dir. y = 0 için, -x2 + x + 2 = 0 x2 – x – 2 = 0 (x – 2) (x + 1) = 0 x1 = 2 v x2 = -1 dir. O halde, x eksenini kestiği noktalar; (2, 0) ve (-1, 0) dır. Değişim tablosunu düzenleyip parabolü çizelim. 3. y = x2 – 4 fonksiyonunun grafiğini çizelim. 1. YOL: Verilen fonksiyonda, a = 1 , b = 0 ve c = -4 tür. Tepe noktasının koordinatları; olduğundan, tepe noktası T(0. 4) olur. x = 0 için, y = -4 olduğundan grafik, y eksenini (0, -4) noktasında keser. y = 0 için, x2 – 4 = 0 x2 = 4 x1 = 2 v x2 = -2 olduğundan, grafik x eksenini (-2, 0) noktalarında keser. Değişim tablosunu düzenleyip parabolü çizelim. y = ax2 + c biçiminde ifade edilen fonksiyonların grafiklerinin tepe noktası T(0, c) dir. Bu nokta y ekseni üzerinde işaretlenerek a > 0 ise grafiğin kolları yukarı doğru, a < 0 ise, kollar aşağı doğru çizilir. 2. YOL: Yukarıdaki açıklamaya göre y = x2 – 4 fonksiyonunun grafiğinin tepe noktas, T(0, -4) tür. a = 1 > 0 olduğundan, grafik yandaki gibidir. 4. y = x2 – 2x fonksiyonunun grafiğini çizelim. Verilen fonksiyonda, a = 1 , b = -2 ve c = 0 dır. Tepe noktasının koordinatları; olduğundan, tepe noktası T(1. -1) dir. x = 0 için, y = 02 – 2.0 = 0 Grafik y eksenini (0. 0) noktasında keser. y = 0 için, x2 – 2x = 0 x(x – 2) = 0 x1 = 0 v x2 = 2 Grafik, x eksenini (0, 0) ve (2, 0) noktalarında keser. Değişim tablosunu düzenleyip parabolü çizelim. y = ax2 + bx + c parabolünde c = 0 ise, grafik orijinden geçer. 5. y = 2(x – 1)2 – 8 fonksiyonunun grafiğini çizelim. y = a(x – r)2 + k biçiminde ifade edilen fonksiyonların grafiklerinin tepe noktası, T(r. k) idi. O halde; y = 2(x – 1)2 – 8 fonksiyonunun tepe noktası; T(1, -8) dir. x = 0 için, y = 2(0 – 1)2 – 8 = -6 ise, grafik y eksenini (0, 6) noktasında keser. x1 = -1 y = 0 için, 2(x – 1)2 – 8 = 0 2(x – 1)2 = 8 x – 1 = 2 x2 = 3 Grafik x eksenini, (-1, 0) ve (3, 0) noktalarında keser. Değişim tablosunu düzenleyip parabolü çizelim. 6. y = x2 +2x-1 fonksiyonunun grafiğini çizelim. Verilen fonksiyonda, a = x-1 , b = 2 ve c = -1 dir. Tepe noktası, T(1, 0) dır. x = 0 için, y = -1 ise, grafik y ekseni (0, -1) de keser. y = 0 için, x2 + 2x-1 = 0 (x-1)2 = 0 x1 = x2 = 1 Grafik, ş eksenine (1, 0)noktasında teğettir. Niçin? Değişim tablosunu düzenleyip parabolü çizelim. y = 0 ax2 + bx + c parabolümde, ax2 + bx + c = 0 denkleminin eşit iki kökü varsa yani, = 0 ise, parabol tepe noktasında ş eksenine teğettir. a<0 ise; a>0 ise; 7. y = x2-2x + 5 fonksiyonunun grafiğini çizelim. Verilen denklemde, a = 1, b = -2, c = 5 tir. Tepe noktası T (1, 4) tür. x = 0 için, y = 5 ise, grafik y ekseni (0, 5) noktasında keser. y = 0 için, x2-2ş + 5 0 = 4 - 4.5 = -16<0 gerçek kök yoktur. Grafik x eksenini kesmez. Değişim tablosunu düzenleyip parabolü çizelim. y = ax2 + bx + c parabolünde, ax2 + bx + c = 0 denkleminin kökleri yoksa, yani <0 ise, grafik x eksenini kesmez. a>0 ise; a<0 ise; 8. Yanda grafiği verilen, y = mx2 + x +2 fonksiyonu, P(2, 1) noktasından geçiyor ise, m'yi bulalım. P noktasının koordinatları, verilen fonksiyon denklemini sağlar. Yani, y = -mx2 + x + 2 1 = m . 22 + 2 + 2 4m = 3 bulunur. İKİNCİ DERECEDEN BİR FONKSİYONUN GÖRÜNTÜ KÜMESİNİN EN BÜYÜK VEYA EN KÜÇÜK ELEMANINI BULMA y = ax2 + bx + c fonksiyonunun grafiğini çizmiştik. Şimdi bu grafikten yararlanarak fonksiyonun en küçük veya en büyük elemanını bulalım. a>0 ise; Grafikte görüldüğü gibi, x değişkeni ya kadar artarken, y fonksiyonu dan ya kadar azalmaktadır. x değişkeni, doğru artmaya devam ederken, y fonksiyonu da a doğru artmaktadır. Yani, y'nin en küçük değerini, olarak aldığı grafikte açık olarak görülmektedir. Bu değere, fonksiyonun görüntü kümesinin en küçük (minimum) değeri denir. a>0 olmak üzere, y = a2 + bx + c fonksiyonunun görüntü kümesinin en küçük değeri, tepe noktasının ordinatıdır. Yani, dır. En büyük değeri yoktur. |
#2
|
|||
|
|||
![]()
a<0 ise;
Grafiğe dikkat edilirse x değişkeni (-) dan ya kadar artarken, y fonksiyonu (-) dan ya kadar artmaktadır. x değişkeni, dan (+) doğru artmaya devam ederken, y fonksiyonu dan (-) a doğru azalmaktadır. Yani y nin en büyük değerini, olarak aldığı, grafikte açık olarak görülmektedir. Bu değere, fonksiyonun görüntü kümesinin en büyük (maksimum) değeri denir. O halde; a < 0 olmak üzere, y = ax2 + bx + c fonksiyonunun görüntü kümesinin en büyük değeri, tepe noktasının ordinatıdır. Yani, k = dır. En küçük değeri yoktur. ÖRNEKLER 1. y = 2x2 + x – 2 fonksiyonunun, görüntü kümesinin en küçük değerini bulalım. Verilen fonksiyonda a = 2 , b = 1 , c = - 2 dir. a = 2 > 0 olduğundan, fonksiyonunun görüntü kümesini en küçük değeri, k= dır. K = olur. 2. y = -x2 + 4x + 2 fonksiyonunun görüntü kümesinin, en büyük değerini bulalım. Verilen fonksiyonda, a = 1 , b = 4 ve c = 2 dir. a = -1 < 0 olduğundan, fonksiyonun görüntü kümesinin en büyük değeri, dır. olur. 3. f(x) = -4x2 + 2x + 1 – 2m fonksiyonunun görüntü kümesinin, en büyük değeri 4 ise, m yi bulalım. Verilen fonksiyonda, a = -4 , b = 2 ve c = 1-2m dir. a = -4 < 0 olduğundan, fonksiyonun görüntü kümesinin en büyük değeri k dır. O halde, k = 4 olmalıdır. k = 4 = 4 -16 + 32m – 4 = -64 32m = -44 m = - olur. 4. y = -2(x – 1)2 + 5 fonksiyonunun görüntü kümesinin, en büyük değerini bulalım. a = -2 < 0 olduğundan, fonksiyonun görüntü kümesinin, en büyük değeri k dır. y = -2(x – 1)2 + 5 fonksiyonunda k = 5 olduğundan, istenilen değer 5 olur. İKİNCİ DERECEDEN BİR FONKSİYONUN TEMSİL ETTİĞİ PARABOLÜN SİMETRİ EKSENİNİ BULMA y = ax2 parabolünün simetri ekseninin, x = 0 doğrusu olduğunu görmüştük. y = ax2 + bx + c fonksiyonunun, y = biçiminde yazılabildiğini daha önce göstermiştik. Burada, diyelim ve x1 değerini bu eşitlikle yerine yazalım. elde edilir. Yukarıdaki grafiğe dikkat ederseniz, bu grafiğin kollarının, x = doğrusuna göre simetrik olduğunu görürsünüz. İşte bu, x = doğrusuna, y = ax2 + bx + c parabolünün SİMETRİ EKSENİ denir. ÖRNEKLER 1. y = 2x2 – 4x + 3 parabolünün simetri eksenini bulalım. Verilen fonksiyonda, a = 2 , b = -4 olup x = dir. O halde, x = 1 doğrusu simetri eksenidir. 2. y = 4x2 – 3 parabolünün simetri eksenini bulalım. Verilen fonksiyonda, a = 4 , b = 0 olup x = dır. O halde, x = 0 doğrusu (y ekseni) simetri eksenidir. • y = ax2 ve y = ax2 + c parabollerinin simetri eksenleri, x = 0 doğrusu, yani, y eksenidir. • y = a(x-r)2 ve y = a(x-r)2 + k parabollerinin simetri eksenleri, x = r doğrusudur. 3. y = (3m – 1)x2 – 4mx + 1 parabolünün simetri ekseni, x = 3 doğrusu ise, m kaçtır? Verilen fonksiyonda, a = 3m – 1 ve b = -4m dir. Simetri ekseni x = 3 doğrusu ise; bulunur. EKSENLERİ KESTİĞİ NOKTALARIN KOORDİNATLARI VERİLEN BİR PARABOLÜN DENKLEMİNİ BULMA x eksenini (p, 0) ve (q, 0), y ekseninide (0, n) noktasında kesen parabolün denklemini bulalım. x eksenini kesen noktaların apsisi, aradığımız denklemin kökleridir. O halde, kökleri bilinen 2. dereceden denklemin yazılışını hatırlarsak bu denklem; a[x2 – (x1 + x2).x + (x1.x2)] = 0 biçiminde idi. Dolayısıyla, aradığımız parabolün denklemi; y = a[x2 – (p + q) x + p.q] olur. (1) Ayrıca grafik, (0, n) noktasından geçtiği için, bulduğumuz (1) eşitliğini sağlar. Yani, x = 0 alınırsa y = n olur. Bu değerleri yerine yazarsak, a yı bulur ve parabolün denklemi olan y = ax2 + bx + c yi elde ederiz. 2. YOL: Aradığımız denklem, y = ax2 + bx + c dir. Bu denklem, grafiğin üzerindeki üç noktayı da sağlayacağından, bu noktaların bileşenleri yerine yazılarak, 3 denklem elde edilir. Bu denklemlerin ortak çözümü ile a, b, c bulunur ve yerine yazılırsa, istenilen denklem bulunmuş olur. GRAFİĞİNİN TEPE NOKTASI İLE HERHANGİ BİR NOKTASININ KOORDİNATLARI VERİLDİĞİNDE PARABOLÜN DENKLEMİNİ BULMA Tepe noktası T(r, k) olan ve y eksenini (0, n) noktasında kesen parabolün denklemini bulalım. Grafiğinin tepe noktası T(r, k) olan ikinci dereceden y = ax2 + bx + c fonksiyonunun, y = a(x – r)2 + k biçiminde yazılabildiğini öğrenmiştik. Ayrıca grafik (0, n) noktasından geçtiği için, bu nokta, y = a(x – r)2 + k denklemini sağlar. Yani, x = 0 için, y = n alınarak a değeri bulunabilir. ÖRNEKLER 1. Aşağıda grafiği verilen parabolün denklemini bulalım. Parabolün tepe noktası olan, T(2, -2) , y = a(x – r)2 + k bağıntısını sağlar. y = a(x – r)2 + k (r = 2, k = -2 yazalım.) y = a(x – r)2 – 2 bulunur. (I) Ayrıca grafik (0, 3) noktasından geçtiği için, bu nokta (I) bağıntısını sağlar. y = a(x – 2)2 – 2 (x = 0, y = 3 yazalım) 3 = a(0 –2)2 – 2 3 = 4a – 2 a = O halde aradığımız. Denklem; tür. 2. Aşağıda, grafiği verilen parabolün denklemini bulalım. Tepe noktası olan T(-1, 2), y=a(x – r)2 + k bağıntısını sağlar. y = a(x – r)2 + k (r = -1, k = 2 yazalım) y = a(x + 1)2 + 2 bulunur. (I) Ayrıca grafik, (0, 0) noktasından geçtiği için, bu nokta (I) bağıntısını sağlar. y =a(x + 1)2 + 2 (x = 0, y = 0 yazalım) 0 = a(0 + 1)2 + 2 0 = a + 2 a = -2 bulunur. O halde, aranılan denklem; y = -2(x + 1)2 + 2 dir. 3. Aşağıda grafiği verilmiş olan parabolün denklemini bulalım. Tepe noktası olan T(1, 0), y = a(x – 1)2 + k bağıntısını sağlar. y = a(x – r)2 + k (r = 1, k = 0 yazalım) y = a(x – r)2 + 0 bulunur. (I) Ayrıca grafik, (0, 2) noktasından geçtiği için, bu nokta (I) bağıntısını sağlar. y = a(x – r)2 (x = 0, y = 2 yazalım) 2 = a(0 – 1)2 a = 2 bulunur. O halde, aradığımız denklem; y = 2(x – 1)2 dir. y = ax2 + bx +c fonksiyonunun grafiği x eksenine teğet ise ax2 + bx + c = 0 denkleminin diskirminantı sıfırdır. ÖRNEKLER 1. y = x2 – (m – 2)x + 4 parabolü x eksenine teğet ise, m değerlerini bulalım. Verilen parabol x eksenine teğet olduğundan, x2 – (m – 2)x + 4 = 0 denkleminde =0 dır. = b2 – 4ac = [-(m – 2)]2 – 4 . 1 . 4 = m2 – 4m + 4 – 16 = m2 – 4m – 12 = 0 m2 – 4m – 12 = 0 m1 = 6 v m2= -2 dir. 2. y = mx2 + (2m – 1)x + m + 2 parabolünün x eksenine teğet olması için, m kaç olmalıdır? mx2 + (2m – 1)x + m + 2 = 0 denkleminde = 0 olmalıdır. = (2m –1)2 – 4m(m + 2) = 4m2 – 4m – 4m + 1 –4m2 – 8m = -12m + 1 = 0 -12m + 1 = 0 m = bulunur. |
![]() |
|
|
![]() |
||||
Konu | Konuyu Başlatan | Forum | Cevaplar | Son Mesaj |
Beyoğlu Ve Fatih'e Şok Baskınlar | ceyLin | Haberler | 0 | 23 December 2008 17:46 |
Edebiyat Konuları | eLanuR | edebiyat - turkçe - dilbilgisi | 0 | 9 December 2008 09:03 |
Şiir Türleri ve Kafiye | eLanuR | edebiyat - turkçe - dilbilgisi | 0 | 9 December 2008 09:01 |
tarihi olayların dil ve edebiyat üzerindeki etkileri | eLanuR | edebiyat - turkçe - dilbilgisi | 0 | 9 December 2008 08:59 |