G ve M kullanarak türevleme

Aşağıdaki eşitlikte G kütleçekim sabiti M de Dünya'nın veya yerçekiminden kaçılacak başka bir kaynağın kütlesi olsun.

[Link'i Görebilmeniz İçin Kayıt Olunuz.! Kayıt OL]
[Link'i Görebilmeniz İçin Kayıt Olunuz.! Kayıt OL]

Burada türevin zincir kuralını uygulayabiliriz.

[Link'i Görebilmeniz İçin Kayıt Olunuz.! Kayıt OL]

Eğer [Link'i Görebilmeniz İçin Kayıt Olunuz.! Kayıt OL] ise

[Link'i Görebilmeniz İçin Kayıt Olunuz.! Kayıt OL]
[Link'i Görebilmeniz İçin Kayıt Olunuz.! Kayıt OL]
[Link'i Görebilmeniz İçin Kayıt Olunuz.! Kayıt OL]
[Link'i Görebilmeniz İçin Kayıt Olunuz.! Kayıt OL]

olacaktır. Biz buradan kurtulma hızını (v0) istediğimize göre

[Link'i Görebilmeniz İçin Kayıt Olunuz.! Kayıt OL]
[Link'i Görebilmeniz İçin Kayıt Olunuz.! Kayıt OL]
[Link'i Görebilmeniz İçin Kayıt Olunuz.! Kayıt OL]

Buna göre v0 kurtulma hızı r0 de kaçılan gezegenin yarıçapıdır. Bu noktada okuyucuya yukarıdaki türevde ataletsel kütle ile gravitasyonel kütle arasındaki sayısal eşitliğin esas alındığını hatırlatmak yerinde olacaktır.

Türevler tutarlı mıdır?

Yerçekimine bağlı --gravitasyonel-- ivmeye (g) kütleçekim sabiti G ve gezegenin kütlesi M kullanılarak erişilebilinir:

[Link'i Görebilmeniz İçin Kayıt Olunuz.! Kayıt OL]

Burada r gezegenin yarıçapı olduğuna göre

[Link'i Görebilmeniz İçin Kayıt Olunuz.! Kayıt OL]

olur. Dolayısıyla yukarıda verilen iki türev birbiriyle tutarlıdır.

Birden fazla gravitasyon kaynağı ve vektörel etkiler

Birden fazla çekim kaynağının bulunduğu kompleks senaryolarda cismin ortamdan kaçması için ihtiyaç duyduğu net kurtulma hızı cismin bulunduğu vektörde sahip olduğu her etki kaynağına bağıl potansiyel enerjilerin toplanması ile elde edilir. Dolayısıyla cisim için tüm sistemden kurtulma hızı herbir etki kaynağının kurtulma hızlarının karelerinin toplamının kare köküne eşit olacaktır.

Buna bir örnek verecek olursak Dünya'nın yüzeyinden fırlatılacak bir cisim için hem Dünya'ya hemde Güneş'e bağıl net kurtulma hızı [Link'i Görebilmeniz İçin Kayıt Olunuz.! Kayıt OL] şeklinde ifade edilir. Buna bînayen cisim dünyanın güneş etrafındaki 30 km/s'lik naturel yörüngesel vektöre paralel fırlatıldığında cismin güneş sistemini terk edebilmesi için ~13.6 km/s'lik öz kurtulma hızına sahip olması yeterlidir.

Yerçekim Drenajı

Kütlesel yoğunluğun gezegen içinde homojen olarak dağılmasi gibi hipotezsel bir varsayımda bulunacak olursak cismin söz konusu gezegenin yüzeyinden merkezine doğru uzanan silindir şeklindeki uzun bir tünele (sürtünmesiz ortam) bırakıldığında erişeceği en yüksek hız mevzû bahis gezegenin kurtulma hızının 'ye bölümüne eşittir. Bu sayı aynı zamanda cismin düşük irtifada gezegen etrafında tam dairesel yörüngedeki hızıyla da eşdeğerdir. Buna göre cismin gezegenin merkezinden fırlatıldığında erişmesi gereken kurtulma hızı yüzeyinden fırlatıldiğında erişmesi gereken hızın katı olacaktır.

Elbette uzay mühendislerince kullanılan daha gerçekçi kurtulma hızı hesaplamaları gezegenlerin yoğunluğunun kütlesi boyunca heterojen ve düzensiz dağıldığı gerçeği göz ardı edilmeden yapılır.