Oranlı ve Oransız Sayılar

[eLanuR]

Oranlı (Rasyonel) sayılar

Matematikte, rasyonel veya oranlı sayılar (veya kesirler) iki tamsayının birbirine oranı ile ifade edilebilen sayılardır. Oranlı sayılar b sıfır olmamak üzere a/b şeklinde (a ve b tamsayı) yazılabilir. 2/3 ve 4/6 veya 6/9 eşdeğer oranlı sayılardır. Dolayısıyla her oranlı sayı sonsuz şekilde ifade edilebilir. Oranlı sayıların en basit formu a ve b tamsayılarının ortak böleninin olmadığı a/b ifadesidir.


Her tam sayı oranlı sayıdır. Çünkü http://upload.wikimedia.org/math/5/b/e/5bec32d1318646eb00a0d2800433df5e.png veya http://upload.wikimedia.org/math/0/d/b/0db349b2c9294fbdc55bce7bdd1b686a.png veya http://upload.wikimedia.org/math/9/e/f/9efb6f9b8d859ac8c3cc93e6e2d7e39a.pnghttp://upload.wikimedia.org/math/d/4/5/d45a4aa156a8ac07ab80e7d9cf5fa79f.png şeklinde yani oranlı sayı tanımına uygun biçimde yazılabilirler. Oranlı sayılar kümesi, tam sayılar kümesi http://upload.wikimedia.org/math/0/b/1/0b100eeff3848a15dbb46291e7fe52ad.png'yi kapsar. Yani http://upload.wikimedia.org/math/a/c/7/ac7bf052717a64e588eb6ebe67828a0a.png.


Tanım

Oranlı sayılar kümesi, tam sayıların bir genişlemesidir ve Q ile veya http://upload.wikimedia.org/math/d/4/5/d45a4aa156a8ac07ab80e7d9cf5fa79f.png ile gösterilir. http://upload.wikimedia.org/math/d/4/5/d45a4aa156a8ac07ab80e7d9cf5fa79f.png kümesi genelde şöyle tanımlanır:

http://upload.wikimedia.org/math/1/0/2/102a868901418edc5acb3b6d5cfb79df.png

Daha ince bir tanımı ise tam sayılar üzerinden tanımlanacak bir denklik bağıntısıyla yapılabilir. Böylece her denklik sınıfı bir oranlı sayı olarak anılır. http://upload.wikimedia.org/math/4/e/7/4e75f87519e42f1fb6a30e3462c8392e.png kümesinden seçilmiş keyfî (a,b) ve (c,d) öğeleri için "~" bağıntısı


http://upload.wikimedia.org/math/6/e/9/6e94aeb1f51ae7e02b1ab72714ebdee9.png

olarak tanımlansın. Bunun bir denklik bağıntısı olduğu kolaylıkla kanıtlanabilir. Bu durumda, denklik sınıfları

http://upload.wikimedia.org/math/7/a/4/7a41a093077285437530190821c6cc36.png

olurlar. Oranlı sayı ise basitçe

http://upload.wikimedia.org/math/e/e/4/ee438f2f85d5cecb1e54f30d3a2936dc.png

şeklinde tanımlanır.
Tanımda paydanın sıfır olmama şartı http://upload.wikimedia.org/math/f/d/e/fde76502a2b18422b471fc26b6bb2e3b.png ifadesinin tanımlanmamış olmasındandır. Bir sayının sıfıra bölümü tanımsızdır.

Oransız (irrasyonel) sayılar

Oransız sayılar (ya da İrrasyonel sayılar), rasyonel sayılar kümesine dahil olmayan reel sayılardır. Kesir olarak ifade edilemeyen bu sayılara π, e ve http://upload.wikimedia.org/math/c/4/7/c475af0fc6a341d865339933e251aba7.png

Örnekler: 3√7, √2, 5√(9/8)...

3√64 veya √(4/9) irrasyonel sayılar değildir çünkü rasyonel karşılıkları vardır:

3√64=4

√(4/9)=2/3
örnek verilebilir. Q' veya I ile gösterilir. Bu sayılar belli bir düzeni olmaksızın sonsuza kadar devam eden ondalık sayılar (örneğin pi sayısı) veya rasyonel karşılığı olmayan kökler olabilir.