Kurtulma hızı

#1 31 December 2008, 10:49

Fizikte kurtulma hızı gravitasyon alanındaki (yerçekimi etkisindeki) herhangi bir cismin kinetik enerjisinin söz konusu alana bağıl potansiyel enerjisine eşit olduğu andaki hızıdır. Genellikle üç boyutlu bir uzayda bulunan cimsin kendisini etkileyen gravitasyon alanından kurtulabilmesi için ulaşması gereken sürati ifade eder.

Ayrıntılı tanım

Belirli bir gravitasyonel alan etkisi altında ve pozisyonda bir cismin gravitasyon kaynağından herhangi bir ek ivme gerektirmeden kaçabilmesi için sahip olması gereken minimum hız o cismin kurtulma hızıdır. Kurtulma hızına sahip cisim kaçmayısısa çalıştığı kütleye geri düşmez veya o cisim etrafında herhangi bir yörüngede (orbit) hareket etmez. Kurtulma hızı teoride yönden bağımsızdır; yani bu hıza sahip cisim üç boyutlu bir uzayda hangi yönde hareket ediyor olsun çekim kaynağından kaçmayısısı başaracaktır. Ancak yön pratik uzay uygulamalarında önemlidir çünkü Uzay Mühendisliği bilimince de sıkça incelendiği gibi cimsin fırlatılış hızı ile beraber sahip olacağı son yörüngeyi belirler. Dolayısıyla kutupsal (polar) yörüngeye yerleştirilecek bir uyduyu taşıyan füzeye atmosferdeki yükselişi esnasında verilecek yön ile eliptik bir yörüngeye yerleştirilecek başka bir uyduyu taşıyan füzeye verilecek yön hemen hemen ayni yükseliş hızına sahip de olsalar farkıdır. Kurtulma hızına ulaştırılıp dünyanın yerçekim alanını terk ettirilecek (örn. uzay sondaları) gibi cisimler fırlatılışın genellikle tüm aşamalarını atmosfere dik olarak geçtikten sonra uzay ortamında ateşlenen nispeten küçük roket motorlarıyla gidecekleri hedef gezegene doğru yönlendirilirler.

Aynı fiziksel teoremi tersten düşünecek olursak tek merkezli bir gravitasyonel (yerçekim) alanının etkisi altında ve sonsuz uzaklıktaki bir cisim söz konusu gravitasyonal alanı yaratan kütleye yaklaşırken en fazla o cisimden kaçarken erişmesi gereken minimum hız olan kurtulma hızında seyir edecektir. Kurtulma hızı genellikle kütlelerin yüzeyinde ölçülür. Yani "Dünya'nın kurtulma hızı 11.2 km/s'dir" dedigimizde aslında dünyanın yüzeyinde deniz seviyesindeki bir konuma relatif kurtulma hızından bahsederiz. Buna nazaran örneğin 9000 km yüksekte (uzayda) cismin dünyanın yerçekiminden kaçması için sahip olması gereken kurtulma hızı 7.1 km/s'dir. Bir başka deyişle cisim yerçekim kaynağından uzaklaştıkça o kaynaktan kaçabilmesi için erişmesi gereken kurtulma hızı azalır.

Terimin yanlış kullanımları

Kurtulma Hızı herhangi bir cismin büyük kütlenin etrafındaki herhangi bir yörüngeden çıkması için sahip olması gereken hızla karıştırılmamalıdır. Belirli bir motor ve hareket kabiliyetine sahip cisim (örneğin bir helikopter) büyük kütlenin kütle merkezinden istedigi herhangi bir hızda uzaklaşabilir. Uzaklık arttıkça cismin büyük kütlenin yerçekiminden ilelebet kurtulabilmesi için çıkması gereken hız azalacaktır.

Bazı bilinen gök cisimlerinin kurtulma hızları

Fırlatılış yeri Kaçılan gökcismi Ve Fırlatılış yeri Kaçılan gökcismi Ve
Güneş'in yüzeyi Güneş: 617.5 km/s
Merkür'ün yüzeyi Merkür: 4.4 km/s Merkür'ün yüzeyi Güneş: 67.7 km/s
Venüs'ün yüzeyi Venüs: 10.4 km/s Venüs'ün yüzeyi Güneş: 49.5 km/s
Dünya'nın yüzeyi Dünya: 11.2 km/s Dünya'nın yüzeyi Güneş: 42.1 km/s
Ay'ın yüzeyi Ay: 2.4 km/s Ay'ın yüzeyi Dünya: 1.4 km/s
Mars'ın yüzeyi Mars: 5.0 km/s Mars'ın yüzeyi: Güneş: 34.1 km/s
Jüpiter'in yüzeyi Jüpiter: 59.5 km/s Jüpiter'in yüzeyi Güneş: 18.5 km/s
Satürn'ün yüzeyi Satürn: 35.5 km/s Satürn'ün yüzeyi Güneş: 13.6 km/s
Uranüs'ün yüzeyi Uranüs: 21.3 km/s Uranüs'ün yüzeyi Güneş: 9.6 km/s
Neptün'ün yüzeyi Neptün: 23.5 km/s Neptün'ün yüzeyi Güneş: 7.7 km/s
Güneş sistemi Samanyolu galaksisi: ~1000 km/s[1]
Herhangi bir Karadeliğin yüzeyi Karadelik ≥ 299792.458 km/s

Atmosfer yüzünden Dünya yüzeyine yakın irtifalarda cisme 11.2 km/s'lik hipersonik bir hız kazandırmak cismin hava molekülleri ile kolezyonu sonucu yanarak parçalanmasına sebep olacağından pratikte mümkün değildir. Gerçek uzay uygulamalarında atmosferin yavaşlatıcı etkisini egale etmek için cisim öncelikle alçak Dünya yörüngesine yerleştirilir sonra ikinci bir motor ateşlemesiyle kurtulma hızına ulaştırılır.

Kurtulma hızının hesaplanması

Burada ve kurtulma hızı G kütleçekim sabiti M kaçılan cismin kütlesi m kaçan cismin kütlesi g yerçekimi ivmesi r cismin merkezi ile kurtulma hızının hesaplandığı nokta arasındaki mesafe ve μ ise standart kütleçekim parametresini sembolize etmektedir.[2]

Belirli bir irtifada kurtulma hızı o irtifada dairesel orbitte hareket eden cismin hızının katına eşittir. Küresel olarak homojen dağılımlı bir kütleye sahip cisim için yüzeyden kaçışta ihtiyac duyacağı kurtulma hızı ve (m/s cinsinden) yaklaşık 2.364×10−5 m1.5kg−0.5s−1 çarpı yarıçap r (metre cinsinden) çarpı averaj yoğunluğun ρ (kg/m³ cinsinden) karekökü olur.

Kurtulma hızını işlence kullanarak türevleme

Aşağıdaki türevlerde Newton'un evrensel çekim kanunu Newton'un hareket kanunları ve integral işlence kullanılmıştır.

g ve r kullanarak türevleme

Dünya'nın kurtulma hızı yüzeyindeki standart yerçekimine bağıl ivme g kullanılarak elde edilebilir. Bu durumda Dünya'nın toplam kütlesi M veya yerçekimi sabitini G`nin bilinmesine de gerek yoktur. Şimdi

r = Dünya'nın yarıçapı
g = Dünya'nın yüzeyindeki yerçekim ivmesi
olsun. Dünya'nın yüzeyinin üzerindeki irtifalarda yerçekimi ivmesi Newton'un evrensel çekim kanunu'ndaki ters kare ilişkisi ile bulunur. Dünya'nın yüzeyinden s yükseklikteki bir noktada (ve s > r olduğunda) yerçekimi ivmesi g(r / s)2`dir. Burada m kütlesine sahip cismin yüzeydeki ağırlığı gm iken s yüksekliğindeki ağırlığı gm (r / s)² olur. Dolayısıyla m kütleli ve yüzeyden s yükseklikteki cismi yüzeyden s + ds yüksekliğine çıkartabilmek için ihtiyaç duyulan enerji gm (r / s)² ds olacaktır. Bu değer s arttıkça hızla azalacağından dolayı cismin sonsuz yüksekliğe çıkartılabilmesi için ihtiyaç duyulan toplam enerji sonsuza ulaşmaz ve sonlu bir meblaya yaklaşır. Bu mebla yukarıdaki ifadenin integralidir:

Bu m kütleli cismin gezegenin yerçekiminden kaçabilmesi için sahip olması gereken kinetik enerjidir. Tabi v hızıyla ilerleyen ve m kütleli cismin toplam kinetik enerjisi Ek = (1/2)mv² formülü ile hesaplandığına göre

şeklinde bir eşitlik kurabiliriz. Burada m`ler birbirini iptal eder ve eşitliği v için çözersek

sonucuna ulaşırız. Dünya'nın yarıçapını r = 6400 kilometre yüzeyindeki yerçekimi ivmesini de g = 9.8 m/s² olarak alırsak

olacaktır. Bu rakam Isaac Newton'un hesapladığı 11 km/s`lik meblanın biraz üzerindedir.