|
|
#1
27 November 2008, 10:37
|
|||
|
|||
Kara köklü ifadeler
KAREKÖKLÜ İFADELER
n Z+ olmak üzere xn = a eşitliği sağlayan x değerine a’nın n’inci kuvvetten kökü denir ve x = a şeklinde gösterilir, n’inci kuvvetten kök a diye okunur. Örnekler: • n = 2 için a : Karekök a, • n = 3 için a : Küpkök a, • n = 4 için a : Dördüncü kuvvetten kök a diye okunur Not: Hiçbir reel sayının çift kuvveti negatif olamayacağından, negatif bir sayının çift kuvvetten kökü reel sayı değildir. N Z+ olmak üzere a için a0 olmalıdır. Örnekler • x4 = -16 ise x R dir. Çünkü hiçbir x reel sayısının dördüncü kuvvetten kökü –16 olamaz. -16 R, -7 R fakat x3 = -8 ise x = -8 R dir. Soru-1 A = (x + x-3 )/(1 + 5-x ) ise A nın reel sayı olması için x’in alacağı tam sayı değerler kaç tanedir? Çözüm x-3 ve 5-x köklerinin kuvvetleri çift sayı olduğundan, x-3 0 ve 5-x 0 x3 ve 5x 3 x 5 tir. Buna göre x in alabileceği tamsayı değerleri 3,4 ve 5 olup üç tanedir. Köklü İfadenin Üslü Şekilde Yazılması a = am/n dir. Örnek: • 8 = 23 = 23/4, -2 = (-2)1/3 tür. Soru-2 2x = (0,5)2x-1 ise x kaçtır? Çözüm 2x = (0,5)2x-1 2x/3 = (1/2)(2x-1)/(2) 2x/3 = (2-1)(2x-1)/(2) 2x/3 = 2(-2x+1)/(2) x/3 = (1 – 2x)/(2) x = 8/3 dir. Köklü İfadenin Üssünün Alınması Tanımlı olduğu durumlarda, (a )m = am Örnekler: • (-2 )4 = (-2)4 = 16 • (2 )3 = 23 = 8 dir Kök İçindeki Bir İfadenin Kök Dışına Çıkarılması Kök içerisinde, üssü kökün kuvvetine eşit olan çarpanlar kök dışına çıkarılabilir. n Z+ olmak üzere, a , n tek sayı an = a , n çift sayı Örnekler: • 125 = 53 = 5, • -8 = (-2)3 = -2 • 1/32 = (1/2)5 = ½ • 16 = 24 = 2 = 2 • (3 – 2)2 = 3 - 2 olur. Burada 3 - 2 0 olduğundan, 3 - 2 = -(3 – 2) = 2 - 3 •26 = (22)3 = 4 •27/32 = (3.32)/(2.42) = 3/43/2 Soru-3 243 / 0,0048 işleminin sonucu kaçtır? Çözüm 243 / 0,0048 = 3.34 / 48.10-4 = 3.3 / 3.24.(10-1)4 = 3.3 / 2.10-1.3 = 3.10 / 2 = 15 tir. Kök Dışındaki Bir Çarpanın Kök İçine Yazılması N inci kuvvetten bir kökün dışında, çarpım halinde bulunan bir ifade n inci kuvveti alınarak kök içine yazılabilir. a/c . b = (an.b)/(cn) Not: n çift sayı ise a/c 0 olmalıdır. Örnekler: • 2.3/16 = (3.25)/(16) = 6 • x.y.1/x2y2 = x3y3/x2y2 = xy • -1/3 . 27 = -27/34 = -1/3 tür. Soru-4 A=(5-3)7+35 olduğuna göre, A kaçtır? Çözüm 5-3 0 olduğundan, A = (5 – 3)7+35 = -(3-5)7+35 = -(3-5)2 .(7+35) = -(14-65)(7+35) = -2(7-35).(7+35) = -2[72 – (35)2] = -2.4 = -22 dir. Bir Kökün Derecesini Genişletme Veya Sadeleştirme Bir köklü ifadede, kök kuvveti ve kökün içindeki ifadenin üssü, uygun bir sayı ile çarpılabilir veya bölünebilir. k Z+ olmak üzere an = an.k = an/k Örnekler: • 32 = 25 = 2 • 3 = 32 = 9 • -2 = -2 = -24 = -16 • (-2)6 = 26 = 26 = 2 dir. Soru-5 x = 2 , y = 3 , ve z = 5 sayılarının büyükten küçüğe sıralanışı nasıldır? Çözüm X, y ve z sayılarının yaklaşık değerini bilmek zor olduğundan, kök kuvvetleri eşitlenerek kök içindeki sayılar karşılaştırılabilir. Buna göre: x = 2 = 26 = 264 y = 3 = 34 = 81 z = 5 = 53 = 125 ve 1258164 olduğundan zyx tir. Köklü İfadelerde Toplama-Çıkarma Köklü ifadelerde toplama veya çıkarma yapılabilmesi için, kök kuvvetleri eşit ve köklerin içindeki ifadeler de birbirinin aynısı olmalıdır. xa + y a – z a = (x+y-z)a gibi. Örnekler: • 3 + 2 (köklerin içindeki sayılar farklı) • 7 + 7 (köklerin kuvvetleri farklı) • 35 +5 -25 = (3+2-1)5 = 25 tir. Soru-6 48 + 12 - 27/4 işleminin sonucu nedir? Çözüm 48 + 12 - 27/4 = 3.42 + 3.22 - (3.32)/(22) = 43 + 23 – 3/23 = (4+2-3/2)3 = 9/23 tür. Soru-7 8 + -128 + 16 işleminin sonucu nedir? Çözüm 8 + -128 + 16 = 23 + 2.(-4)3 + 24 = 2 - 42 + 2 = (1-4+1)2 = -22 Köklü İfadelerde Çarpma-Bölme Köklü ifadelerde çarpma veya bölme yapılabilmesi için, köklerin kuvvetleri eşit olmalıdır. Tanımlı olduğu durumlarda: a . b = a.b a / b = a/b Not: Köklerin kuvvetleri farklı ise, kök kuvvetleri eşitlenerek çarpma veya bölme yapılabilir. a . b = am . bn = am.bn a / b = am / bn = am/bn (b0) dir. Örnek: • (2 . 3) / (5 ) = (2.3)/(5) = 6/5 tir. Soru-7 2 . 16 işleminin sonucu nedir? Çözüm Köklerin kuvvetleri 3.5=15’te eşitlenirse, 2 . 16 = 2 . 24 = 25 . 24.3 = 25 . 212 = 217 = 215 . 22 = 24 tür. Paydanın Rasyonel Yapılması (Paydanın Kökten kurtarılması) 1-) n m, b 0 olmak üzere, a/bm şeklindeki ifadelerde pay ve payda bn-m ile çarpılarak payda kökten kurtarılır. a / bm = (a / bm ) . (bn-m / bn-m) = (a . bn-m) / (b) dir. Örnekler • a/b = (a/b) . (b/b) = (ab)/(b) • 1/32 = (1/25) . (22/22) = 4/2 • 1 / (2.3) = [1/(2.3)].[(22.3)/(22.3)] = (4.3)/(2.3) = (4.3)/[IMG]http://www.************/forum/images/smilies/msn_d emon.gif[/IMG] 2-)a/(b-c) şeklindeki ifadelerde pay ve payda b+c ile, a/(b+c) şeklindeki ifadelerde ise pay ve payda b-c ile çarpılır. (x-y)(x+y) = x2 – y2 olduğundan (b - c)(b + c) = (b)2 – (c)2 = b – c dir. Bu şekilde paydada iki kare farkı elde edilerek payda kökten kurtarılmış olur. a/(b-c) = [a/(b-c)].[(b+c)/(b+c)] = [a(b+c)] / [b-c] a/(b+c) = [a/(b+c)].[(b-c)/(b-c)] = [a(b-c)] / [b-c] dir. Örnek: • 1/(5 – 2) = [1/(5-2)].[(5+2)/(5+2)] = [5 + 2] / [(5)2 – 22] = 5 + 2 • 2/(5 + 3) = [2/(5+3)].[(5-3)/(5-3)] = [2(5-3)] / [(5)2-(3)2] = 5-3 Soru-8 3/4-7 ifadesinin eşiti nedir? Çözüm 3/4-7 = (3/4-7).(4+7)/(4+7) = (34+7)/42 – (7)2 = (34+7)/9 = 4+7 dir. Not: n Z+ olmak üzere, paydada a-b ifadesi varsa pay ve payda a+b ile,paydada a+b ifadesi varsa pay ve payda a-b ile çarpılır. Soru-8 1/(2-1) ifadesinin eşiti nedir? Çözüm 1/(2-1) = [1/(2-1)].[(2+1)/(2+1)] = [2+1]/[(2)2-11] = (2 + 1) / (2 – 1) = [(2+1)/(2-1)].[(2-1)/(2-1)] = (2+1)(2+1) dir. 3-) a/b - c şeklindeki ifadelerde pay ve payda b2 + bc + c2 ile çarpılır. (x – y)(x2 + xy + y2) = x3 – y3 olduğundan, (b - c )(b2 + bc + c2 ) = (b )3 – (c )3 = b – c dir. Bu şekilde paydada iki küp farkı elde edilerek, payda kökten kurtarılmış olur. a / (b - c ) = [a / (b - c )].[(b2 + bc + c2 ) / (b2 + bc + c2 )] = [a(b2 + bc + c2 )] / [b - c] a/b + c şeklindeki ifadelerde ise pay ve payda b2 - bc + c2 ile çarpılır. (x + y)(x2 - xy + y2) = x3 – y3 olduğundan, (b + c )(b2 - bc + c2 ) = (b )3 + (c )3 = b + c dir. Bu şekilde paydada iki küp toplamı elde edilerek, payda kökten kurtarılmış olur. a / (b + c ) = [a / (b + c )].[(b2 - bc + c2 ) / (b2 - bc + c2 )] = [a(b2 - bc + c2)] / [b + c] Örnek: • 1 / (5 - 3 ) = [1 / (5 - 3 )].[(52 + 5.3 + 32 ) / (52 + 5.3 + 32 )] = [25 + 15 + 9 ] / [(5 )3 – (3 )3] = (25 + 15 + 9 ) / 2 Soru-10 1 / (9 + 6 + 4) ifadesinin eşiti nedir? Çözüm 1/(9+6+4) = [1 / (32 + 3.2 + 22 )].[(3 - 2 )/(3 - 2 )] = [3 - 2]/[(3)3 – (2)3 = 3 - 2 dir. İç İçe Kökler 1-) x + 2y veya x - 2y şeklindeki ifadelerde kök içerisinin tamkare olup olmadığı araştırılır. Bunun için, x = a + b olmak üzere y = a . b • x + 2y = (a + b )2 = a + b a+b a.b • x - 2y = (a - b )2 = a - b a+b a.b Not: İçteki köklü ifadenin çarpanı 2 olmalıdır. Örnekler: • 4 + 23 = 3 + 1 = 3 + 1 • 7 - 212 = 4 - 3 = 2 - 3 tür. Soru-11 3 + 5 - 3 - 5 işleminin sonucu nedir? Çözüm 1 3 + 5 - 3 - 5 = [2(3 + 5)] / 2 - [2(3 - 5)] / 2 = [(6 + 25) / 2] – [(6 - 25) / 2] = [(5 + 1) / 2] – [(5 – 1) / 2] = (5 + 1 - 5 + 1) / 2 = 2 Çözüm 2 Verilen ifadeyi x’e eşitleyip her iki tarafın karesini alalım x = 3+5 - 3-5 x2 = (3+5 - 3-5 )2 x2 = (3+5 )2 +(3-5 )2-2(3+5)(3-5) x2 = 3 + 5 + 3 - 5 - 232-(5)2 x2 = 6 - 24 x2 = 2 olur. x = 3+5 -3-5 0 olduğundan x = 2 dir. Not: a0 , b0 ve a2b olmak üzere, a+b = [(a+a2-b )/(2)] + [(a+a2-b)/(2) a+b = [(a+a2-b )/(2)] - [(a+a2-b)/(2) 1-) a = a dır. (m.n.t çift sayı ise a0 olmalıdır. Örnek: • 2 = 2 = 2 Soru-12 222 ifadesinin eşiti nedir? Çözüm Kökler arasındaki çarpanları en içteki kökün içine yazalım. 222 = 23.22 = 220.2 = 221 = 27 = 128 dir. 3-) İç İçe Sonsuz Kökler a) aaa... = a aaa... = x a.x = x x x = a Örnekler: • 888... = 8 =2 • 777... = 7 = 7 dir. b) a:a:a: ... = a a:a:a: ... = x a:x = x x x = a şeklinde doğruluğu gösterilebilir. Örnek: • 8:8:8: ... = 8 = 2 dir. c) a+a+a+ ... = (1+1+4a) / (2) (a0) a-a-a- ... = (-1+1+4a) / (2) (a0) aaa ... = x ax =x x ax = x2 (1+1+4a) / 2 şeklinde doğruluğu gösterilebilir. Örnek: 5+5+5+ ... = x 5+x = x 5+x = x2 x x2 – x – 5 = 0 x = (1+1+4.5)/(2) x = (1+21)/(2) dir. Not: a 0 olmak üzere, a(a+1)+a(a+1)+a(a+1)+ ... = a+1 a(a+1)-a(a+1)-a(a+1)- ... = a Örnek: • 12+12+12+ ... = 4 (a = 3, a+1 = 4) 3.4 • 30-30-30- ... = 5 (a = 5, a+1 = 6) 6.5 
|
Normal
