|
|
#1
27 November 2008, 10:39
|
|||
|
|||
Tek - Çift Fonksiyonlar
Tek ve çift fonksiyonlar :
Tanımlı olan tüm x değerleri için f (-x) = -f (x) oluyorsa tek ; f (-x) = f (x) oluyorsa çift fonksiyon denir. Diğer bir deyişle başlangıç noktasına (0,0) göre simetrik fonksiyonlar tek ; y eksine göre simetrik fonksiyonlar çift fonksiyondur. Örnek 36: f(x) = sinx +3x -x3 fonksiyonu tek mi çift midir ? Çözüm : f (-x) = sin (-x) + 3(-x) -(-x)3 = -sinx -3x +x3 = -(sinx +3x -x3) = -f(x) olduğundan tek fonksiyondur. Örnek 37: f(x) = x2 + 4 -cosx fonksiyonu tek mi çift midir ? Çözüm : f(-x) = (-x)2 + 4 -cos(-x) = x2 + 4 -cosx = f(x) olduğundan çift fonksiyondur. Örnek 38: f(x) = x2 + x3 -3 fonksiyonu tek mi çift midir ? Çözüm : f(-x) = (-x)2 + (-x)3 -3 = x2 - x3 -3 olduğundan ne tek ne de çift fonksiyondur. Örnek 39: f(x) = 0 fonksiyonu tek mi çift midir ? Çözüm : f (-x) = f(x) = -f(x) = 0 olduğundan fonksiyon hem tek hem de çifttir. Diğer bir deyişle f(x)=0 fonksiyonu yani x ekseni hem başlangıç noktası hem de y eksenine göre simetriktir. Örnek 40: 2f(x) - x -2 = f(-x) fonksiyonu çift olduğuna göre f (x) fonksiyonunu bulunuz. Çözüm : Çift fonksiyon olduğundan f(x) = f(-x) olur. Dolayısıyla 2f(x) - x -2 = f(x) olacağından f(x) = x+2 olur. Periyodik fonksiyonlar : Eğer bir f(x) fonksiyonunda f (x) = f (x+t) olacak şekilde bir t gerçek sayısı bulunuyorsa f (x) fonksiyonu periyodiktir. Buradaki t sayısına da o fonksiyonun periyodu denir. Diğer bir deyişle periyodu t olan bir fonksiyonda f(x+t) = f(x) ==> ( x+t ) - x = t olur. Örnek 41: f (x) = g ( 2x+3 ) ile tanımlı iki periyodik fonksiyondan g (x) fonksiyonunun periyodu 5 ‘ tir. Buna göre f(x) fonksiyonunun periyodu nedir ? Çözüm : f (x) fonksiyonunun periyoduna t dersek f(x+t) = f(x) olmalıdır. Dolayısı ile g ( 2x+2t +3) = g( 2x+3) ve ( 2x+2t +3) - ( 2x+3) = 5 olmalıdır ( çünkü g (x) fonksiyonunun periyodu 5 ) buradan t = 5/2 bulunur. f (x) fonksiyonunun periyodu t ise f (ax+b) fonksiyonunun periyodu olur. Buna göre g (x) fonksiyonu için t=5 olduğuna göre g ( 2x+3) fonksiyonunun periyodu da 5/2 ‘dir de diyebilirdik. f(x) ve g(x) gibi iki fonksiyonunun periyotları t1 ve t2 ise bu iki fonksiyonun toplam veya farklarının periyotları OKEK(t1 , t2 ) olur. Çarpım veya bölümlerinin periyotları ise bu fonksiyonları toplam veya fark formuna çevirerek bulunur. Örnek 42 : f(x) fonksiyonunun periyodu 3, g(x) fonksiyonunun periyodu 4 ise h(x) = f (3x+5)-g(2x+7) fonksiyonunun periyodu nedir ? Çözüm : f (3x+5) fonksiyonunun periyodu 3/3 = 1 ve g(2x+7) fonksiyonunun periyodu 4/2 = 2 olduğundan h(x) fonksiyonunun periyodu OKEK(1,2) = 2 olur. Trigonometrik fonksiyonlardan sin x ve cos x fonksiyonlarının periyotları 2 ; tanx ve cotx fonksiyonlarının periyotları ise ‘dir. Örnek 43 : f (x) = cos(2x-3) + sin (4x-5) ise f(x) fonksiyonunun periyodu nedir ? Çözüm : cos(2x-3) fonksiyonunun periyodu ve sin (4x-5) fonksiyonunun periyodu olduğundan f (x) fonksiyonunun periyodu ikisinin OKEK’i olan ‘ dir. Örnek 44 : f (x) = 6sin5xcos3x -5 fonksiyonunun periyodu nedir ? Çözüm : Ters dönüşüm formullerinden yararlanarak buluruz. Dolayısıyla f (x) = 3sin 8x +3sin 2x -5 olacağından ; sin 8x fonksiyonunun periyodu ve sin 2x fonksiyonunun periyodu ise olur. f (x) fonksiyonunun periyodu da OKEK ( olur. Örnek 45 : f(x) = 3sin25x +2 fonksiyonunun periyodu nedir ? Çözüm : cos 2x = 1-2sin2x olduğundan olur. Bu nedenle olur. f(x) fonksiyonu da olacağından periyodu da bulunur. Sinkax ve coskax fonksiyonlarının periyotları k sayısı çift ise , k sayısı tek ise ; tankax ve cotkax fonksiyonlarının periyotları k sayısı ne olursa olsun ‘dır. Buna göre aynı soru k =2 olduğundan bu bilgileri kullanarak ’ dir de diyebiliriz . Fonksiyonların toplamı,farkı, çarpımı,bölümü : f (x) ve g (x) fonksiyonları için h (x) = ( f + g ) (x) = f (x) + g (x) fonksiyonuna toplam fonksiyonu ; h (x) = ( f - g ) (x) = f (x) - g (x) fonksiyonuna fark fonksiyonu ; h (x) = ( f . g ) (x) = f (x) . g (x) fonksiyonuna çarpım fonksiyonu ; h (x) = ( f / g ) (x) = f (x) / g (x) fonksiyonuna bölüm fonksiyonu denir. Burada dikkat edilmesi gereken noktalardan birincisi h (x) fonksiyonunun tanım kümesi f ve g fonksiyonlarının tanım kümelerinin kesişim kümesidir , ikincisi ise fonksiyonlar üzerinde tanımlanan işlemler fonksiyonların görüntü kümeleri üzerinde yapılacaktır. Örnek 46 : f (x) = 3x+5 fonksiyonu için tanım kümesi A = {-1,1,2,3} ve g (x) = 2x-3 fonksiyonu için tanım kümesi B = {-1,2,3,4} olduğuna göre h (x) = (f+g)(x) fonksiyonunun tanım ve değer kümelerini bulunuz. Çözüm : Tanım kümesi = A B = {-1,2,3} olur. h (x) = (3x+5) + (2x-3) = 5x+2 olduğundan h (-1) = -3 h ( 2) = 12 h (3) = 17 olur ve değer kümesi de G = {-3,12,17} şeklinde bulunur. Örnek 47 : f : A B , f (x) = {(1,2),(2,3),(3,4)} ve g : C D , C = {1,2,3} ,g (x) = x+1 olduğuna göre h (x) = 2f(x)+3g(x) fonksiyonunun değer kümesini bulunuz . Çözüm : Fonksiyonlar incelendiğinde eşit fonksiyon oldukları görülmektedir. Dolayısı ile h (x) = 5f (x) diye düşünülebilir. h (1) = 5f (1) = 10 ; h (2) = 5f (2) = 15 h (3) = 5f (3) = 20 olduğundan değer kümesi ={10,15,20} olarak bulunur. 
|
Normal
