|
|
#1
27 November 2008, 12:21
|
|||
|
|||
Dİzİler
DİZİLER
Tanım: Tanım kümesi sayma sayıları kümesi, değer kümesi reel sayılar kümesi olan her fonksiyona reel terimli dizi veya kısaca dizi denir. Reel terimli dizi f: N+ ↔ R biçiminde bir fonksiyondur. 1,2,3,…….,n,…….sayıları için; f(1) = a1, f(2) = a2,……..f(n) = an,…….terimleri dizinin birinci, ikinci,..….n,……-inci terimleridir. f dizisi genel olarak (a1, a2, a3,… an,…) veya kısaca (an) ile gösterilir. SABİT DİZİ CÎ R olmak üzere, (an) = C ise (an) dizisine Sabit Dizi denir. UYARI: a,b,c,d Î R olmak üzere an + b dizisinde a.d – b.c = 0 ise sabit dizidir. cn + d DİZİLERİN EŞİTLİĞİ " n Î N+ için an = bn ise, (an) ve (bn) dizileri eşittir denir ve (an) = (bn) biçiminde yazılır. ÖRNEK: Genel terimleri an = n.(n + 1) ve bn = 2 + 4… 2n olsun diziler eşittir. Çünkü " n ÎN+ için 2 + 4 + …2n = n.(n + 1) DİZİLERDE İŞLEMLER (an) ve (bn) reel terimli dizi k € R olsun; (an) + (bn) = (an + bn) (an) – (bn) = (an – bn) (an) . (bn) = (an . bn) bn 0 için; (an) = (an) (bn) (bn) k(an) = (k.an) MONOTON DİZİLER " n Î N+ için; an < an+1 == (an) monoton artandır. an > an+1 == (an) monoton azalandır. an ≤ an+1 == (an) azalmayandır. an ≥ an+1 == (an) artmayandır. Artan veya azalan diziler monoton dizilerdir. UYARI: a,b,c,d Î R olmak üzere genel terimi an + b olan dizi için; cn + d a) a.d – b.c > 0 ise artandır. b) a.d – b.c < 0 ise azalandır. ARİTMETİK DİZİ Tanım: Ardışık iki terimin arasındaki fark, aynı sabit bir sayı olan dizilere aritmetik dizi denir. Diğer bir ifadeyle " n Î N+ için, an+1 – an = d olacak şekilde bir d Î R varsa (an) dizisine aritmetik dizi, d sayısına da ortak fark denir. GENEL TERİM Aritmetik dizinin ilk terimi a1 ve ortak farkı d = 1 olan bir aritmetik dizidir. 5 a1 = a1 a2 = a1 + d a3 = a2 + d = a1 + 2d a4 = a3 + d = a1 + 3d an = an – 1 + d = a1 + (n – 1)d dir. Demek ki, aritmetik dizinin genel terimi: an = a1 + (n – 1)d dir. ARİTMETİK DİZİNİN ÖZELLİKLERİ 1) a ve b gibi iki sayı arasına n tane terim yerleştirilerek oluşturulan aritmetik dizinin ortak farkı: d = b – a dır. n + 1 2) Aritmetik dizinin ilk terimi n teriminin toplamı Sn ile gösterilirse, Sn = n { 2a1 + (n – 1)d } ya da Sn = n (a1 + an) olur. 2 2 3) Bir aritmetik dizide, her terim kendisinden eşit uzaklıkta iki terimin kendisinden eşit uzaklıktaki iki terimin aritmetik ortalamasına eşittir. Diğer bir ifadeyle k < p iken, ap = ap – k + ap + k dır. 2 4) p ile q arasına aritmetik dizi olacak biçimde n tane yerleştirilirse k = q – p olur. (q > p) n +1 5) Bir aritmetik dizide terimlerin indisler toplamı eşittir. a1 + an = a2 + an - 1 =… 6) Terimlerin indislerinin aritmetik ortası terimlerin indisini verir. a1 + a3 = a2 ve ya a1 + a5 = a3 2 2 7) p > q olmak üzere ap ve aq aritmetik dizinin terimleri olsun: k = ap – aq p – q GEOMETRİK DİZİ Tanım: Ardışık iki terimin oranı aynı sabit bir sayı olan dizilere geometrik dizi denir. Diğer bir ifadeyle " n Î N+ için, an + 1 = r an Olacak şekilde bir r Î R varsa (an) dizisine geometrik dizi, r sayısına ortak çarpan veya ortak oran denir. 1 GENEL TERİM Dizinin ilk terimi a1 ve ortak çarpanı r olsun. Bu durumda, a1 = a1 a2 = r.a1 a3 = r.a2 = r2.a1 a4 = r.a3 = r3.a1 Demek ki, geometrik dizinin genel terimi: an = rn – 1.a1 veya an = rn – p.ap dir. GEOMETRİK DİZİNİN ÖZELLİKLERİ 1) İlk terimi a1, ortak çarpanı r olan bir geometrik dizinin genel terimi an = a1.rn -1 2) Bir geometrik dizisinin ilk n teriminin toplamı S = a1. 1 – rn olur. r 0, r 1 1 – r 3) a ve b sayıları arasına bir geometrik dizi olacak biçimde n tane terim yerleştirirse, r = olur. 4) Bir geometrik dizide bir terim kendinden eşit uzaklıktaki iki terimin geometrik ortasıdır. (a2)2 = a1.a3 (a16 ) = a4. a28 gibi ÖRNEK 2. terimi 3/5 ve 5. terimi 75 olan geometrik dizinin ortak çarpanı nedir? A) 5 B) 10 C) 15 D) 20 E) 25 ÇÖZÜM: r5 – 2 = a5/a2 r3 = 75/3.5 r3 = 75/15 r = 5 tir. YANIT A ÖRNEK İlk terimi 6 ve 2. terimi 12 olan aritmetik dizinin 5. terimi nedir? A) 112 B) 124 C)142 D) 144 E)152 ÇÖZÜM: r = a1 – a2 = 6 a5 = a1.(n – 1).r a5=6.4.6 = 144 YANIT D ÖRNEK 3. terimi 3 ve 5. terimi 6 olan Geometrik dizinin 7. terimi nedir? A) 4 B) 8 C) 12 D) 16 E) 20 ÇÖZÜM: a5 = (a3.a7)1/2 36 = (3.a7) a7 = 12 YANIT C ÖRNEK: 2n – 1 dizisinin dördüncü terimi kaçtır? 3n + 5 A) 4/13 B) 5/14 C) 7/17 D) 8/19 E) 9/13 ÇÖZÜM: n yerine 4 yazarsak; a4 = 2.4 – 1 = 7 3.4 + 5 17 YANIT C ÖRNEK: Genel terimi (an) = n2 + 1; 0 ( mod2) 2n – 1; 1 (mod2) Olan dizi için a3 + a8 değeri kaçtır? A) 50 B) 64 C) 65 D) 70 E) 76 ÇÖZÜM: n tek için an = 2n – 1 a3 = 2.3 – 1 = 5 ve n çift için an = n2+ 1 a8 = 82 + 1 = 65 ise (a3) + (a8) = 65 + 5 = 70 YANIT D ÖRNEK: (an) = (2n – 1) ve (bn) = (n2 + 1) olduğuna göre, (an) + (bn) aşağıdakilerden hangisidir? A) n.(n + 2) B) 2n.(n + 1) C) n2 + 1 D) n2 + 2 E) n.(n + 1) ÇÖZÜM: (an) + (bn) = (an + bn) olur. Ve = (2n – 1 + n2 + 1) = (n2 + 2n) = n(n + 2) olur. YANIT A ÖRNEK: 2n + 5 dizisinin monotonluk 3n – 1 durumunu inceleyiniz. A) Monoton artan b) Monoton azalan C) Artmayan D) Azalmayan E) Sabit ÇÖZÜM: Dizinin terimlerini yazalım. 2n + 5 =( 7 , 9 , 11… ) 3n – 1 2 5 7 Olduğundan dizi monoton azalandır. YANIT B 2 ÖRNEK: (an) = (n+10) 5 Dizisinin aritmetik dizi olduğunu gösteriniz. Ortak farkını bulunuz. A) ½ B) ⅔ C) ⅝ D) ⅜ E) 1/5 ÇÖZÜM: = an+1 – an = (n+1+10) – (n+10) = 1 5 5 5 r = 1/5 YANIT E ÖRNEK: İlk terimi 8 ve ortak farkı 2 olan aritmetik dizinin genel terimi nedir? A) 2(n+1) B) 2(n+2) C) 2(n+3) D) 2(n+4) E) 2(n+5) ÇÖZÜM: an = a1+(n – 1).d an = 8 + (n – 1).2 an = 2n + 6 YANIT C ÖRNEK: Bir aritmetik dizide ikinci terim 7, on birinci terim 34 olduğuna göre dizinin yirminci terimi kaçtır? A) 50 B) 61 C) 65 D) 70 E) 76 ÇÖZÜM: k = a11 – a2 = 39 – 7 = 3 11 – 2 9 an = a1 + (n – 1).k olduğundan k = a2 – a1 = 3 k = 7 – a1 = 3 == a1 = 4 a20 = 4 + (20 – 1) .k a20 = 4 + 19.3 = 61 YANIT C ÖRNEK 39. terimi 19 ve 45. terimi 22 olan aritmetik dizinin ortak farkı kaçtır? A)⅓ B) ⅔ C) ⅛ D) ⅞ E) ½ ÇÖZÜM: r = (a45 – a39) (45 – 39) r = (22 – 19) 6 r = ½ YANIT E ÖRNEK - 8 ve 28 sayıları arasına 8 tane terim yerleştirilerek oluşturulan aritmetik dizinin ortak farkı kaçtır? A) 5 B) 4 C) 3 D) 2 E) 1 ÇÖZÜM: r = (b – a) (k + 1) r = (28 +8) (8 + 1) r = 36 = 4 9 YANIT B ÖRNEK 19. terimi 42 ve 33. terimi 88 olan aritmetik dizinin 26. terimi kaçtır? A) 65 B) 75 C) 85 D) 95 E) 105 ÇÖZÜM: a26 = (a19+a33) 2 a26 = (42 + 88) = 65 2 YANIT A ÖRNEK (an) = (2n+5) dizisinin geometrik dizi olduğunu gösteriniz. Dizinin ortak çarpanını bulunuz. A) 10 B) 8 C) 6 D) 4 E) 2 ÇÖZÜM: r = (an+1) an r = (2n+1+5) = 2 2n+5 YANIT E ÖRNEK İlk terimi 14 ve ortak çarpanı ½ olan geometrik dizinin genel terimi nedir? A) 2-n B) 21-n C) 22-n D) 23-n E) 24-n ÇÖZÜM: a1 = 4 ve r = ½ an = rn – 1. a1 an = (1/2)n – 1. 4 an = 23 – n YANIT D ÖRNEK: İlk terimi -2 olan ortak farkı 4 olan aritmetik dizinin kaçıncı terimi 14 olur? A) 5 B) 10 C) 15 D) 20 E) 25 3 ÇÖZÜM: an = a1+(n – 1).r 14 = -2 + (n – 1).4 16 = 4n – 4 n=5 YANIT A ÖRNEK: Bir aritmetik dizinin 10. terimi 8 olduğuna göre 1. ve 19. terimlerin toplamı kaçtır? A) 2 B) 4 C) 8 D) 16 E) 32 ÇÖZÜM: a10= a1+a19 2 a1 + a19= 16 YANIT D ÖRNEK: 4. terimi 14, 10. terimi 38 olan bir aritmetik dizinin 2. terimi kaçtır? A) 4 B) 5 C) 6 D) 7 E) 8 ÇÖZÜM: r = a10 – a4 10 – 4 r = 38 – 14 = 4 6 4 = a4 – a2 2 8 = 14 – a2 a2 = 6 YANIT C ÖRNEK: 1.terimi 2 ortak farkı ¼ olan bir aritmetik dizinin kaçıncı terimi 3 tür? A) 9 B) 8 C) 7 D) 6 E) 5 ÇÖZÜM: an = a1+(n – 1).r 3 = 2 +(n – 1). ¼ 3 = 2 + ¼n – ¼ 1+¼ = ¼n n = 5 YANIT C ÖRNEK: 8 ile 50 sayıları arasına bu sayılarla aritmetik dizi oluşturacak şekilde 62 terim yerleştirilirse bu dizinin 19. terimi kaç olur? A) 10 B) 20 C) 30 D) 40 E) 50 ÇÖZÜM: r = b – a = 50 – 8 = 42 = 2 k + 1 62 + 1 63 3 a19 = a1 + (n – 1).r a19 = 8 +(19 – 1).⅔ a19 = 8 + 18. ⅔ a19 = 20 YANIT B ÖRNEK: 1.terimi 8, 2. terimi 12 olan bir aritmetik dizinin ilk 12 teriminin toplamı kaçtır? A) 120 B) 240 C) 360 D) 480 E) 600 ÇÖZÜM: r = 12 – 8 = 4 Sn = n/2.(2a1+(n – 1).r) Sn = 12/2.(2.8+(12 – 1).4) Sn= 12/2.(16+44) Sn = 12/2.60 Sn = 360 YANIT C ÖRNEK: Bir an geometrik dizisinde a5 = 24, a8 = 3 ise bu dizinin 7. terimi kaçtır? A) 2 B) 4 C) 6 D) 8 E) 10 ÇÖZÜM: a5 = a1.r5–1 = 24 a8 = a1. r8–1 = 3 a1. r4 = 24 == a1.r7 3 1 = 8 r3 r3 = 1/8 r = ½ a7 = a5.r7–5 a7 = 24. (½)2 a7 = 24.1 = 6 4 YANIT C KONU İLE İLGİLİ ÖSS ÖYS SORULARI 1. Bir aritmetik dizinin 8. terimi a olduğuna göre 2. ve 14. terimleri toplamı nedir? A) 3a B) 2a C) a D) a/2 E)a/3 1990/ÖYS 2. Bir geometrik dizinin ilk terimi 3/2, ikinci terimi 3 olduğuna göre, altıncı terimi kaçtır? A) 28 B) 30 C) 32 D) 39 E) 48 1991/ÖYS 4 3. Yaşları toplamı 48 olan 6 kardeşin yaşları bir aritmetik dizi oluşturmaktadır. En küçük kardeş 3 yaşında olduğuna göre, en büyük kardeşin yaşı kaçtır? A) 11 B) 13 C) 14 D) 15 E) 17 1994/ÖYS 4. n = 1.2.3… olmak üzere ilk n teriminin toplamı Sn = n2 +1 olan bir dizinin 7. terimi kaçtır? A) 30 B) 24 C) 22 D) 16 E) 13 1996/ÖYS ÖSS ÖYS SORULARININ ÇÖZÜMLERİ 1. a8 = a = a2 + 6r ve a14 = a8 +6r = a +6r olacağından a2 = a – 6r a2 +a14 = (a – 6r)+ (a + 6r) = 2a YANIT B 2. Geometrik dizide an=a1.rn -1 a2 =a1.r 3=3/2.r r = 2 a6=a1.r5 3/2.25=3.24 = 48 YANIT E 3. 3,3+k… 3+5k 18+15k = 48 k = 2 3+5.2 = 13 YANIT B 4. s1 = 12+1 = 3 s2 = 22+2 = 6 . . . s6 = 62+1 = 37 s7 = 72+1 = 50 s7 – s6 7. terimi verir. s7 – s6 = 50 – 37 = 13 YANIT E 
|
Normal
