|
|
#1
9 December 2008, 13:11
|
|||
|
|||
Kemiklerimizdeki Matematik
Kemiklerimizdeki Matematik
Hayvanlar yeryüzü şartlarındaki çekim, hava basıncı, hareketlere bağlı mekanik basınç ve gerilimlere karşı mükemmel bir şekilde tasarlanmışlardır. Bizler bir makine icad ederken yaptığımız tasarımda en uygun çözümü bulmak üzere optimizasyon teknikleri geliştiririz. Bir tasarımda mümkün olduğu kadar az malzeme kullanarak, en dayanıklı yapıyı elde etmeye çalışma bir optimizasyon problemidir. Aracınızın yakıtı ile mümkün olduğunca fazla seyahat edebilme yine başka bir optimizasyon problemidir. Günlük hayatımızda farkında olmadan hep optimizasyon problemlerini çözmeye çalışırız. Elimizdeki kısıtlı bir miktar para ile mümkün olduğunca en kaliteli bir ayakkabıyı almaya çalışmamız, gündelik optimizasyon problemlerinden biridir. Pazarda alışveriş yaparken mümkün olduğunca az para harcayarak, en kaliteli meyve ve sebzeleri almaya çalışmamız, farkında olmadan çözdüğümüz optimizasyon problemlerindendir. Bir işi en kısa zamanda ve en iyi şekilde bitirmeye çalışmamız yine bu tip bir problemi çözme arzumuzdan kaynaklanmaktadır. Değişik ebatlarda olabilen silindirik yapıda konserve kutuları imal etmek istiyoruz. En az teneke harcayarak en büyük hacimde konserve kutusu imal etme problemi matematik olarak ifade edildiğinde ve çözüldüğünde şu sonucu elde ederiz: Konserve kutusunun çapı ve yüksekliği birbirine eşit alınırsa en küçük alan ile en büyük hacim kaplanmış olur. Mühendis olarak Allah'ın verdiği akıl ve cüzî ilmimizle çözmeye uğraştığımız optimizasyon problemlerini, Rabbimiz; sonsuz ilim ve kudretiyle tabiatı tedbirli yaratarak halletmiştir. Tabiatta görülen mükemmel mühendislik örnekleri aslında çok karmaşık optimizasyon problemlerinin varlığına ve çözüldüğüne işaret etmektedir. Canlı yapılarında, canlı hareketlerinde ve canlı davranışlarında hep optimizasyon problemlerinin varlığı ve en iyi şekilde çözüldüğü, bilim adamlarının yaptıkları matematik modeller ve deneylerle gösterilmiştir. Canlı kemiklerinin minimum ağırlıkla maksimum dayanıklılığı temin etmesi bu optimizasyon problemlerinden bir tanesidir. Memelilerin kemikleri içi boş boru şeklindedir. Bu şekil, içi dolu silindirik yapıya göre daha dayanıklıdır. Kemiklerin içinde ise ilik bulunmaktadır. Kemikler sürekli ivmeli harekete maruz kaldıkları için dayanıklılıkla birlikte hafif olmaları da çok önemlidir? Şimdi bu optimizasyon problemini kurup çözümünü araştıralım: Şekil l'de dış yarıçapı r, iç yarıçapı ise k.r olan bir kemiğin kesit alanı gösterilmiştir. k katsayısı iç yarıçapın dış yarıçapa oranını temsil etmektedir ve tanımdan da anlaşılabileceği gibi sıfır ile bir arasında bir değerdir. Maksadımız k'nın hangi değeri için, kemik hafifliğinin en iyi (optimum) olacağını bulmaktır. Verilen bir eğilme momenti için kesit yarıçapı ile dayanıklılık arasındaki münasebet aşağıdaki gibidir r= [M/K(1-k)4]1/3 Yukarıda M, uygulanan eğilme momentini, K ise; dayanıklılıkla ilgili bir katsayıyı temsil etmektedir. Kesit alandaki kemik dokusuna ait dış kısmın kesit alanı; pr2- k2r2 = pr2 (1-k2), olur. Eğer kemiğin yoğunluğu r ise birim uzunluk için kütlesi, M1=pr2r (1-k2) veya r için önceki ifadeyi yerleştirirsek, m1= pr (1-k2) [M/K(1-k)4]2/3 elde edilir. Kemik içindeki iliğin kesit alanı ise pk2r2'dir. İliğin yoğunluğu ise; kemiğinkinin yaklaşık yarısı kadardır. Böylece birim uzunluktaki ilik kütlesi aşağıdaki gibidir: m2 = (1/2) pr2k2r veya m2= (1/2) pk2r ( [M/K(1-k)4]2/3 Toplam kütle her iki kütlenin eklenmesi ile bulunur. m=m1+m2= pr (1-k2/2) [M/K(1-k)4]2/3 Bu kütleyi minumum yapacak k değerini bulmak için ifade k'ya göre türevlenir ve sıfıra eşitlenir. Bu işlemin sonucunda k=0,63 değeri bulunur. Her ne kadar bu değer minimum kütleye karşılık gelen içyarıçap/dışyarıçap değeri ise de, k=0,4 ile 0,7 değerleri arasında kütle hemen hemen bu optimum değere yakındır. Tablo l'de değişik hayvanların kemikleri için k değerleri verilmiştir. Bu değerler matematik hesaplamalar ile mükemmel bir uyum gösterip 0,4-0,7 aralığında kalmaktadırlar. Kuşların kemikleri ise uçabilmeleri için daha da hafif olmalıdır. Bunun için kara hayvanlarındaki ilik birçok kuşta olmayıp iliğin yerini hava almıştır. Acaba ilik yerine hava olduğunda optimum k değeri ne olabilir? Bu durum için sadece m1 ifadesi kütleyi verecektir. Bu ifadeye baktığımızda kütleyi azaltmak için k değerini mümkün olduğunca artırmamız gerektiği sonucuna varırız. Ancak k, 1 değerine yakın olduğunda cidar çok incelir ve kemik, eğilmeden ziyade burkulma etkisi ile kırılabilir. Dolayısı ile optimum tasarımda; hem eğilme hem de burkulmanın bir arada incelenmesi gerekir. Eğilme ve burkulma için k değerlerine karşılık gelen birim uzunluktaki kütle eğrileri mukavemet prensipleri kullanılarak hem burkulma, hem de eğilme için çizilmiştir (Şekil 2). İki eğrinin kesiştiği nokta optimum noktadır ve k=0,93 değerine karşılık gelmektedir. Elde edilen en önemli sonuç kuşlarda kara hayvanlarına göre k değerinin daha yüksek olması gerektiğidir. Kuğu kuşlarında k=0,9 olarak ölçülmüştür. Aradaki küçük fark teoriye ait burkulma ve eğilmedeki basitleştirici bazı önkabullerden kaynaklanmaktadır. Ayrıca kuğu kuşlarında burkulmayı önleyici iç payandalar da mevcuttur. Kemik tasarımında diğer önemli bir özellik ise kemiğin kesit alanının uzunluk boyunca değişim göstermesidir. Bunun sebebi şöyle açıklanabilir: Şekil 3a'da bir çubuğa F kuvveti uçtan etki etmektedir. Bu kuvvetin x kadar uzaklıktaki kesitte oluşturduğu eğilme momenti, F.x olacaktır. Yani uzaklık arttıkça eğilme momenti doğrusal olarak artmaktadır. Sıçrayan bir köpek ve kaval kemiğine ayak tarafındaki uçtan etki eden bir F kuvveti benzer şekilde eğilme momentlerine yol açar (Şekil 3b). Bu eğilme momenti ekleme doğru artacaktır. Dolayısı ile kemiğin kesitinin artan eğilme momentini karşılayacak şekilde artması gerekir. Mukavemette G=M/S ifadesinde G gerilmeyi, M eğilme momentini, S ise; kesit modülü olarak adlandırılan ve kesit alanla ilgili bir çokluğu belirtir. Optimum mukavemet için G değerinin uzunluk boyunca değişmemesi gerekir. Moment uzunlukla orantılı olarak büyüdüğüne göre kesit modülünün de uzunlukla doğrusal olarak arttırılması gerekir. 17 cm uzunluğundaki bir köpek kaval kemiği için, uçtan ekleme doğru uzunluk boyunca kesit modülü Şekil 4'de gösterilmiştir. Tahmin edildiği gibi uzunlukla doğru orantılı ve düzgün olarak değişen bir kesit modülü ölçülmüştür. Canlıların kemik tasarımları mükemmel inşa edilmemiş olsa idi, ya ağırlığın fazlalığından dolayı hareket zorlaşacak, yahut yeterli mukavemet olmadığından kemikler kolayca kırılarak canlının hayatını devam ettirebilmesi zorlaşacaktı. Matematik modellerden de görülebileceği gibi, sonsuz ihtimal arasından hep en iyi sonucu verecek tasarım ölçülerini bulmamız, bu ölçü ve hesapların tesadüf ile izahı mümkün olmayan bir kast ve irade ile seçildiğini, Sonsuz bir İlim ve Kudret'in eseri olduğunu apaçık göstermektedir. 
|
Normal
