|
|
#1
9 December 2008, 15:16
|
|||
|
|||
Polinomlar
A. TANIM n bir doğal sayı ve a0, a1, a2, ... , an – 1, an birer gerçel sayı olmak üzere, P(x) = a0 + a1x + a2x2 + ... + an – 1xn – 1+anxn biçimindeki ifadelere x değişkenine bağlı, gerçel (reel) katsayılı n. dereceden polinom (çok terimli) denir. B. TEMEL KAVRAMLAR P(x) = a0 + a1x + a2x2 + ... + an – 1xn – 1+anxn olmak üzere, Ü a0, a1, a2, ... , an–1, an in her birine polinomun terimlerinin katsayıları denir. Ü a0, a1x, a2x2, ... , an–1xn – 1, anxn in her birine polinomun terimleri denir. Ü Polinomun terimlerinden biri olan a2x2 teriminde x in kuvveti olan 2 ye bu terimin derecesi denir. Ü Polinomu oluşturan terimler içerisinde derecesi en büyük olan terimin katsayısına polinomun baş katsayısı, bu terimin derecesine de polinomun derecesi denir ve der [p(x)] ile gösterilir. Ü Değişkene bağlı olmayan terime polinomun sabit terimi denir. Ü a0 = a1 = a2 = ... = an = an–1 = 0 ise, P(x) polinomuna sıfır polinomu denir. Sıfır polinomunun derecesi tanımsızdır. Ü a0 ¹ 0 ve a1 = a2 = a3 = ... an – 1 = an = 0 ise, P(x) polinomuna sabit polinom denir. Sabit polinomunun derecesi sıfırdır. Her polinom bir fonksiyondur. Fakat her fonksiyon polinom olmayabilir. Buna göre, fonksiyonlarda yapılan işlemler polinomlarda da yapılır. C. ÇOK DEĞİŞKENLİ POLİNOMLAR P(x, y) = 3xy2 – 2x2y – x + 1 biçimindeki ifadelere iki değişkenli polinomlar denir. Bu polinomda aynı terimdeki değişkenlerin üsleri toplamından en büyük olanına polinomun derecesi denir. D. POLİNOMLARDA EŞİTLİK Aynı dereceli en az iki polinomun eşit dereceli terimlerinin katsayıları birbirine eşit ise bu polinomlara eşit polinomlar denir. Ü P(x) polinomunun katsayıları toplamı P(1) dir. Ü P(x) polinomunda sabit terim P(0) dır. Herhangi bir polinomda; katsayılar toplamı bulunurken o polinomda değişkenler yerine 1 yazılır. Sabit terim bulunurken o polinomda değişkenler yerine 0 (sıfır) yazılır. P(ax + b) polinomunun; katsayıları toplamı P(a + b) ve sabit terimi P(b) dir. Ü P(x) polinomunun; Çift dereceli terimlerinin katsayıları toplamı: Tek dereceli terimlerinin katsayıları toplamı:  E. POLİNOMLARDA İŞLEMLER 1. Toplama ve Çıkarma P(x) = anxn + an – 1xn – 1 + an – 2xn – 2 + ... Q(x) = bnxn + bn – 1xn – 1 + bn – 2xn – 2 + ... olmak üzere, P(x) + Q(x) = (an + bn)xn + (an – 1 + bn–1)xn – 1 + ... P(x) – Q(x) = (an – bn)xn + (an – 1 – bn–1)xn – 1 + ... olur. 2. Çarpma İki polinomun çarpımı, birisinin her bir teriminin diğerinin her bir terimi ile ayrı ayrı çarpımlarından elde edilen terimlerin toplamına eşittir. 3. Bölme der [P(x)] ³ der [Q(x)] ve Q(x) ¹ 0 olmak üzere, P(x) : Bölünen polinom Q(x) : Bölen polinom B(x) : Bölüm polinom K(x) : Kalan polinomdur. Ü P(x) = Q(x) . B(x) + K(x) Ü der [K(x)] < der [Q(x)] Ü K(x) = 0 ise, P(x) polinomu Q(x) polinomuna tam bölünür. Ü der [P(x)] = der [Q(x)] + der [B(x)] Polinomlarda bölme işlemi, sayılarda bölme işlemine benzer biçimde yapılır. Bunun için;
F. KALAN POLİNOMUN BULUNMASI Kalan polinomu, klasik bölme işlemiyle ya da aşağıdaki 3 yöntemden biri ile bulabiliriz. 1. Bölen Birinci Dereceden İse Bir polinomun ax + b ile bölümünden kalanı bulmak için, polinomda değişken yerine  yazılır.
2. Bölen Çarpanlara Ayrılıyorsa Bölen çarpanlara ayrılıyorsa, her çarpan sıfıra eşitlenir. Bulunan kökler polinomda yazılarak kalan bulunur. P(x) polinomunun a(x – b) . (x – c) ye bölümünden kalan mx + n ve bölüm polinom Q(x) ise, P(x) = a(x – b) . (x – c) . Q(x) + mx + n olur. P(b) = mb + n ... (1) P(c) = mc + n ... (2) (1) eşitliği ile (2) eşitliğinin ortak çözümünden m ve n bulunur. Bölen polinomun derecesi n ise kalan polinomun derecesi en fazla (n – 1) dir. 3. Bölen Çarpanlarına Ayrılamıyorsa Bölen çarpanlarına ayrılamıyorsa aşağıdaki 2 yöntem sırasıyla uygulanarak kalan polinom bulunur. 1) Bölen polinom sıfıra eşitlenerek en büyük dereceli değişkenin eşiti bulunur. 2) Bulunan ifade bölünen polinomda yazılır.
4. P(x) Polinomu (ax + b)n İle Tam Bölünüyorsa, (n Î N+)  P(x) = axn + bxm + d ise,Pı(x) = a . nxn–1 + b . mxm–1 + 0 Pıı(x) = a . n . (n – 1)xn – 2 + b . m(m –1) . xm – 2 dir. P(x) polinomunun (x – a) ile bölümünden elde edilen bölüm Q(x) ve kalan k1, Q(x) polinomunun (x – b) ile bölümünden kalan k2 ise, P(x) in (x – a) (x – b) ile bölümünden kalan K(x) = (x – a) k2 + k1 olur. G. BASİT KESİRLERE AYIRMA a, b, c, d, e, f A, B birer reel (gerçel) sayı olmak üzere,  eşitliğinde A yı bulmak için, A nın paydasının kökü bulunur.  Bulunan bu değer eşitliğin sol yanında A nın paydası atılarak elde edilen  de yazılır.Aynı işlemler B için de yapılır.  H. DERECE İLE İLGİLİ İŞLEMLER m > n olmak üzere, der[P(x)] = m der[Q(x)] = n olsun. Buna göre,
|
Normal
